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Joute n°94 : Le tour du lac

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
09-12-12 à 18:46

Bonjour à tous,

La famille Trucmuche aime à se promener autour du lac Touron au bord duquel se trouve la maison du grand-père et qui a la particularité d'être parfaitement circulaire.

Après le petit déjeuner, Andantino, le patriarche, appuyé sur sa canne, a l'habitude de faire un tour du lac, en une heure pile. Les trois autres décident de l'accompagner.
Sa fille Velocidad effectue un petit jogging tranquille et fait le tour en 20 minutes.
Son gendre Célerin est un sportif aguerri. D'une foulée virile, il ne met qu'un quart d'heure pour parcourir la même distance.
Quant au petit-fils Diligus, son vélo de course lui permet de faire le tour du lac en 12 minutes seulement.

On suppose que le nombre de tours effectués par les « jeunes » n'est pas limité.

Toutefois, pour ne pas laisser le grand-père tout seul trop longtemps, il est décidé que, chaque fois que l'un des 3 autres promeneurs le rattrape, il reste en sa compagnie jusqu'à ce que le suivant les rattrape à son tour et prenne sa place auprès du noble vieillard. L'accompagnant précédent repart alors à son rythme habituel.

Question : Au bout de combien de temps au minimum (arrondi à la seconde la plus proche) le triangle formé par le grand-père et les deux personnes qui ne l'accompagnent pas sera-t-il équilatéral ?
Si vous pensez que ça n'arrive pas pendant le tour du lac du grand-père, précisez-le.

Joute n°94 : Le tour du lac

Posté par
masab
re : Joute n°94 : Le tour du lac 09-12-12 à 19:44

perduBonjour,

Au bout de 20 minutes, le triangle formé par le grand-père et les deux personnes qui ne l'accompagnent pas sera équilatéral.

Merci pour cette énigme !

Posté par
totti1000
re : Joute n°94 : Le tour du lac 09-12-12 à 19:48

perduSalut Godefroy,

Je propose 10 minutes.

Merci pour l'énigme.

Posté par
Chris67550
re : Joute n°94 : Le tour du lac 09-12-12 à 20:28

gagnéje dirai 55 minutes

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°94 : Le tour du lac 09-12-12 à 20:29

gagnéJe suppose que tout le monde part au même moment et que l'accompagnement commence losque le plus rapide Digilus rattrape le patriarche....
Les 3 personnages Andantino (22/12), accompargné de Célérin, Velocidad (14/12), et Digilus(6/12) se retrouveront en triangle équilatéral au bout de 55 minutes.

Mais j'ai bien peur qu'il y ait beaucoup de poissons dans ce lac et que l'un d'entre eux soit pour moi...!!!

Posté par
dpi
re : Joute n°94 : Le tour du lac 09-12-12 à 21:37

perduBonjour,

A priori on peut penser que cela est possible,hélas
après plusieurs chassé-croisés,les 4 promeneurs se
retrouvent ensemble à 30 ° du point de départ.
Il s'est écoulé 3900 secondes soit 1 heure et 6 minutes.
Le cycle (sans jeu de mot) se reproduit ainsi.
Donc impossible de trouver un triangle équilatéral

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°94 : Le tour du lac 09-12-12 à 21:43

perduSalut à tous!
A moins que ça ne soit un oubli, je prend le fait qu'on ne précise qui part(ent) en premier comme la permission de choisir qui on veut, pour donner le temps la plus court possible...
Et alors, je trouve un minimum de 600 secondes, en faisant partir Diligus et Velocidad simultanément au départ!
Merci!

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°94 : Le tour du lac 09-12-12 à 21:59

gagnéBonjour Godefroy.
Après 55 minutes.
Si on marque le parcours de 60 graduation, Andantino et Célerin seront à la graduation 55, Diligus à la graduation 15 et Velocidad à la graduation 35.

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°94 : Le tour du lac 09-12-12 à 22:13

perduSi Célerin et Diligus partent ensemble : On n'a jamais de triangle équilatéral pendant le tour du grand-père.

Si Velocidad et Célerin partent ensemble : On atteint un triangle équilatéral après 3300 secondes, et un seul...

Si les trois partent ensemble... Il est évident que Diligus rattrape le grand-père en premier, et nous replonge dans le cas précédent à partir de là. Donc, 3300 secondes.

Posté par
frenicle
re : Joute n°94 : Le tour du lac 09-12-12 à 23:20

gagnéBonjour Godefroy

Au bout de 55 minutes, la situation est la suivante :
Digilus est au quart de son quatrième tour, Velocidad au 7/12 de son troisième tour alors qu'Andantino accompagné par Célerin, en est aux 11/12 de son tour.

N.B. : Au bout de 10 minutes, Andantino, Velocidad et Digilus forment aussi un triangle équilatéral, mais il ne répond pas à la question posée, car à ce moment-là, Andantino est encore seul, et il y a non pas deux, mais trois personnes qui ne l'accompagnent pas.
Or l'énoncé précise "les deux personnes...".
En plus ce serait trop facile

Merci pour cette joute

Joute n°94 : Le tour du lac

Posté par
rschoon
re : Joute n°94 : Le tour du lac 10-12-12 à 09:55

gagnéBonjour à tous.

Ma réponse : 3300 secondes.

Merci pour l'énigme.

Posté par
torio
re : Joute n°94 : Le tour du lac 10-12-12 à 11:13

gagnéau bout de 55 minutes

A+
Torio

Posté par
dpi
re : Joute n°94 : Le tour du lac 10-12-12 à 11:21

perduQuelques observationsnuit agitée)

1/Au départ il n'y a aucune contrainte:
donc le petit fils pèdale en tête.

2/En principe le grand-père fait un tour
donc la joute devrait se dérouler en 3600 s.

3/Rien n'est prévu dans le cas où deux promeneurs
rejoignent dans la même seconde le grand père
et son accompagnateur momentané.

J'ai donc donné un blocage à 3900 s (soit 1h 5 minutes)
ce qui supposerait que le gand père a attaqué 30 °du
second tour pou faire plaisir à sa descendence.

Pour indication,voici les évènements que j'ai listés:
*0s   départ des 4 ,petit-fils en tête.
*720s  le petit-fils attaque son 2 ème tour
*900s  le petit-fils rejoint son gran-père,le gendre attaque son 2ème tour
*1200s le gendre rejoint le grand-père et libère le petit-fils,
la fille attaque son 2 ème tour.
*1680s le petit-fils attaque son 3 ème tour.
*1800s la fille rejoint le grand-père et libère le gendre.
*2100s le petit-fils rejoint son grand-père et la fille est libérée.
*2250s le gendre attaque son 3 ème tour.
*2600s la fille attaque son 3 ème tour.
*3000s le gendre rejoint le grand-père et libère le petit-fils.
*3120s le petit-fils attaque son 4 ème tour.
*3600s normalement fin (cf 2/)
mais éventuellemnt ,le grand-père attaque son 2 ème tour en compagnie
du gendre qui attaque son 4 ème.
*3800s la fille attaque son 4 ème tour.
*3840s le petit-fils attaque  son 5 ème tour.
*3900s le petit-fils et la fille rejoignent en même temps le grand-père
on ne sait qui reste bloqué (cf/3) par contre le gendre est libérable .

*5700s dans ce cas un triangle équilatéral est formé:
petit-fils 90° gendre et grand-père 210° et fille 330 °

Posté par
ksad
re : Joute n°94 : Le tour du lac 10-12-12 à 11:40

gagnéBonjour

Je vais m'appuyer sur une interprétation de l'énoncé: "Toutefois, pour ne pas laisser le grand-père tout seul trop longtemps, [...]" suppose que les trois jeunes partent en même temps que le grand-père, et chacun à son rythme, et que l'accompagnement ne sera effectif qu'après que le plus rapide ait parcouru un peu plus d'un tour et rattrapé Andantino.

Si cette interprétation est correcte, alors je pense que Grand-Père sera accompagné de Célerin lorsque, après 3300 secondes, ils formeront un triangle équilatéral avec Diligus et Velocidad.

Question subsidiaire: quelle est la probabilité pour qu'une photo quelconque d'un petit lac, pêchée au hasard sur internet, soit précisément celle de l'étang qui se trouve à deux pas de chez moi ? (absolument véridique )

Merci pour la joute et à bientôt

Posté par
rogerd
Le tour du lac 10-12-12 à 11:56

gagnéMerci à godefroy_lehardy pour ce joli casse-tête!

Remarque préliminaire:
A moins de jouer sur les mots, il me semble qu'à l'instant demandé, le patriarche n'est pas seul. Il faut donc exclure la 10e minute, bien qu'à  cet instant le patriarche, encore seul, forme un triangle équilatéral avec Diligus et Velocidad.

Ma réponse est donc:

Il faut attendre 55 minutes pour que Diligus, Velocidad et le patriarche (accompagné de Celerin) soient les sommets d'un triangle équilatéral.

(j'ai vu cela sur un graphique représentant, au cours du temps, la position des trois jeunes par rapport au patriarche)

Posté par
pdiophante
joute n°94 10-12-12 à 13:01

gagnéBonjour,
55 minutes
On assimile le pourtour du lac au cadran d'une horloge avec ses numéros 1,2,..,11,12 et on suppose que les quatre personnes font leur promenade dans le sens horaire.
Le triangle équilatéral est obtenu avec le grand père A en position 11 en compagnie de son gendre C qui a effectué 2 tours + 1//12 de tour,le petit-fils D est en position 3 après avoir effectué trois tours + 1/4 de tour et la fille V est en position 7 après avoir effectué 2 tours + 7/12 de tour.

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°94 : Le tour du lac 10-12-12 à 13:31

gagnéAu bout de 3300 s les conditions sont remplies.

Posté par
castoriginal
Le tour du lac 10-12-12 à 13:35

gagnéBonjour,

il y a une chose qui n'est pas définie dans l'énoncé. Si les quatre personnes font le départ en même temps, il n'est pas dit quel jeune accompagne le grand'père à ce moment. Il faut donc faire un tour complet du lac pour que le plus rapide Digilus rejoigne le grand'père et reste en sa compagnie à la même vitesse, le temps que le second rapide Célerin les rattrape.

J'ai réalisé un tableur qui donne pour chacune des 3600 secondes de la promenade du grand'père la position de celui-ci en degrés du tour du lac ainsi que la position des 3 accompagnants. Chaque fois qu'un des accompagnants rejoint le grand'père, il va aligner sa vitesse sur celle du grand'père jusqu'à ce que le suivant les rejoigne.La configuration triangle équilatéral se produit au premier tour lorsque le grand'père circule seul.
A ce moment, il s'est écoulé 600 secondes (10 minutes) la position du grand'père est de 60°, digilus 300°, Célerin 240° et Velocidad 180°.
Comme il est suggéré à l'énoncé que le grand'père est accompagné lors de la position en triangle équilatéral, la solution à retenir se produira à 3300 secondes avec le grand'père accompagné de Célerin à 330°, digilus à 90° et Velocidad à 210°.

Bien à vous

Posté par
GaBuZoMeu
re : Joute n°94 : Le tour du lac 10-12-12 à 14:42

gagné11/12e de l'heure = 55minutes.

Dans un repère attaché au pépé :

Joute n°94 : Le tour du lac

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°94 : Le tour du lac 10-12-12 à 21:28

perduBonsoir Godefroy,


Si au départ Célerin accompagne Andantino
alors au bout de 10 minutes
les angles polaires(angle au centre du lac) valent
C=60°
V=180°
D=300°
Merci

Posté par
geo3
re : Joute n°94 : Le tour du lac 10-12-12 à 22:17

perduBonsoir
C'est Célerin qui ,au départ , doit accompagner  Andantino le patriarche
et avec Velocidad  et  Diligus ils formeront un triangle équilatéral au bout de 10 min
A+

Posté par
Kidam
re : Joute n°94 : Le tour du lac 11-12-12 à 11:03

perduBonjour,

Je trouve un temps minimum de 10 min pile.
Pour cela, il faut que le patriarche parte en compagnie de son gendre (l'occasion d'une discussion sérieuse au sujet de sa fille), pendant que les deux autres vont à leur rythme.

Merci

Posté par
PIL
re : Joute n°94 : Le tour du lac 11-12-12 à 17:35

gagnéBonjour !

Après 55 min c'est Célerin qui est avec Andantino, Velocidad a fait 2 tours et 7/12 de tour,  Célerin  2 tours et 11/12 de tour  et Diligus 3 tours et 3/12 de tour. Ils sont donc dans la position cherchée !
Merci pour cette jolie question.

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°94 : Le tour du lac 11-12-12 à 18:57

gagnéBonjour Godefroy,

Si je ne me suis pas encore trompé, et en admettant :
- que les quatre protagonistes partent en même temps, ce qui laisse le grand-père tout seul 15' soit "pas trop longtemps",
- que la spécification "le triangle formé par le grand-père et les deux personnes qui ne l'accompagnent pas" implique qu'il est accompagné par la troisième (sinon on parlerait du "triangle formé par le grand-père et deux personnes qui ne l'accompagnent pas")

alors la première configuration en triangle équilatéral satisfaisant à l'énoncé est obtenue au bout de 55 minutes 0 seconde exactement entre Diligus, Velocidad et Andantino+Célerin.

Une première configuration en triangle équilatéral est obtenue au bout de 10 minutes exactement, entre Andantino, Velocidad et Diligus, mais le grand-père n'est accompagné de personne, et Célerin vient faire une vilaine verrue sur ce triangle équilatéral ...

NB : n'est-ce pas un énoncé un peu sournois ?

Posté par
ming
le lac 11-12-12 à 23:02

gagnébonjour

Je pense à 55 min

Posté par
jugo
re : Joute n°94 : Le tour du lac 12-12-12 à 04:30

gagnéBonjour,

Si on divise le tour en 12 portions :
En 5 minutes, Andantino parcourt 1 portion, Velocidad 3, Célerin 4 et Diligus 5.

Ce qui donne :
Joute n°94 : Le tour du lac

On obtient un premier triangle équilatéral au bout de 10 minutes, mais Andantino n'a pas encore été rattrapé.

Réponse, donc :   55 minutes   exactement.

Posté par
Maitreidmry
re : Joute n°94 : Le tour du lac 18-12-12 à 17:34

perduCela n'arrive pas pendant le tour du lac du grand-père.

Posté par
Alishisap
re : Joute n°94 : Le tour du lac 26-12-12 à 15:43

gagnéBonjour et merci beaucoup pour cette superbe énigme !

J'ai trouvé que ce phénomène n'arrive qu'une seule fois durant le tour du grand-père : lorsque très précisément 3300 secondes se sont écoulées, soit 55 minutes.

Je partagerai ma démarche dans un post ultérieur.

Posté par
Alishisap
re : Joute n°94 : Le tour du lac 26-12-12 à 19:41

gagnéUn grand merci à GeoGebra grâce auquel j'ai pu réalisé une simulation complète de l'énigme.

Soit x le périmètre du cercle, t le temps en secondes.

Nous avons donc (où v désigne la vitesse) :

v_A=\dfrac{x}{3600}
 \\ 
 \\ v_V=\dfrac{x}{1200}
 \\ 
 \\ v_C=\dfrac{x}{900}
 \\ 
 \\ v_D=\dfrac{x}{720}

La distance parcourue depuis le départ en fonction de t est donc tout simplement égal à :

d=vt

Il est simple avec GeoGebra de placer un point S du cercle tel que l'arc DS (où D est le départ) soit égal à d.

Pour ça, il suffit de calculer l'angle DOS (où O est le centre du cercle).

On trouve \widehat{DOS}=\dfrac{180d}{R\pi} (où R=\dfrac{x}{2\pi}, le rayon du cercle).

Ainsi on peut construire les 4 points correspondant aux 4 personnages.

Pour vérifier que cela fonctionne, essayons de voir la valeur de l'angle lorsque t=900 pour V. Dans ce cas, V a terminé son premier tour, et donc on devrait trouver un angle DOA égal à 360 :

d=\dfrac{900x}{900}=x

\widehat{DOS}=\dfrac{180x}{R\pi}=180x\times\dfrac{2\pi}{x\pi}=360°

Tout cela fonctionne jusqu'à ce que D rencontre A pour la première fois, lorsque t=900.

Dans ce cas, il convient d'utiliser une seconde simulation.

D disparait.
Au lieu de partir de D pour le calcul de l'angle, on va à chaque fois utiliser pour nouveau départ le point où chaque personnage se trouve.

Pour V, on va définir V'=V.

Pour le calcul de l'angle, on va donc utiliser \widehat{V'OS}.

Pour C, on ne change rien, car il se trouve précisément à D lorsque t=900.

Pour A, définissons A'=A.

On, va donc utiliser \widehat{A'OS}.

Et là, on réinitialise t, car sinon les angles sont faussés. Mais il faudra considérer que à présent, t=t+900.

On procède de la même manière à chaque fois qu'un personnage rencontre A, en pensant bien sûr à faire réapparaître le personnage qui avait disparu juste avant.

Et pendant ce temps, on affichera les segments des trois personnages qui courrent en affichant leur mesure.

Et lorsque t=3300, et bien on trouve que les longueurs sont pareils et donc que le triangle ainsi formé est équilatéral.

Certes, c'est plus conjecturé qu'autre chose, mais il y a a un moyen de vérifier par l'algèbre. Il faudrait calculer les longueurs des segments en fonction de t et en fonction de la simulation en cours, et à chaque fois essayer de résoudre l'équation et voir si les droites sont concourrantes. Lors de la sixième simulation, normalement on devrait trouver que les droites sont concourrantes lorsque t=3300, confirmant ainsi la conjecture.

Cependant je n'ai pas vérifié avec ce calcul, honte à moi. Mais je prends quand même le risque.

Je ne suis pas certain que mes explications ont été très claires. Mais le principal est que je me comprenne.

Allez, à bientôt

Posté par
jonjon71
re : Joute n°94 : Le tour du lac 28-12-12 à 19:11

gagnéBonjour,

Allez j'me jète à l'eau ! Voici ma réponse :

Les quatres personnes formeront un triangle équilatéral au bout de 55 min, le grand-Père Andantino sera avec Célerin.

Je suis quand même dubitatif devant ma réponse !

Voilà merci!

Posté par
loic74
re : Joute n°94 : Le tour du lac 30-12-12 à 00:46

perduBonjour,

Je ne savais pas si au tout début quelqu'un restait avec le grand-père ou pas? J'ai fait comme si ce n'était pas le cas, tout le monde part tout seul et le vélo s'arrête au près du grand-père au bout d'un tour.

Dans ce cas je ne trouve aucun moment où les 4 personnes forment un triangle équilatéral.

J'ai décomposé chaque phase une par une jusqu'à ce que le grand-père arrive au bout de son tour.

Je prends le risque de donner une telle réponse

Posté par
Chatof
re : Joute n°94 : Le tour du lac 30-12-12 à 10:54

gagné3300 secondes ou 55 minutes

merci

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°94 : Le tour du lac 30-12-12 à 19:17

Clôture de l'énigme :

Finie la promenade autour du lac de chez ksad.

Si vous voulez en voir une illustration animée, c'est ici et c'est signé Nicolas_75.
Merci à lui

Posté par
Kidam
re : Joute n°94 : Le tour du lac 31-12-12 à 07:07

perduJ'ai l'impression que nous sommes 4 ou 5 à avoir pris un poisson parce que l'énoncé ne précisait pas les conditions initiales, à savoir si le grand-père démarrait accompagné ou non. J'en avait déduit que nous devions vérifier toutes les possibilité et prendre la plus rapide.
J'avais effectivement trouvé les 55 min si le grand-père part seul, mais comme il existe une solution plus rapide (10 min) lorsque le grand-père part accompagné, je n'ai gardé que cette solution qui correspond aux conditions de l'énoncé demandant le temps MINIMUM.
Un peu déçu tout de même, mais c'est le choix du correcteur...

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°94 : Le tour du lac 31-12-12 à 11:38

perduBonjour Kidam,

Même démarche de ma part.
Bienvenue au club! (dixit DPI)

Posté par
dpi
re : Joute n°94 : Le tour du lac 31-12-12 à 11:45

perduBONNES FETES

J'ai tout faux ,je me sui bien compliqué la vie

Posté par
geo3
re : Joute n°94 : Le tour du lac 31-12-12 à 12:23

perduBonjour Kidam

Même raisonnement pour moi
Il manquait pour moi les conditions pour le départ
Mais ce n'est pas grave et BONNES FETES
A+

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°94 : Le tour du lac 31-12-12 à 13:06

Bonjour à tous,

C'est vrai qu'il manquait peut-être un petit bout de phrase mais quand on lit

Citation :
pour ne pas laisser le grand-père tout seul trop longtemps
on peut se dire que le grand-père est quand même tout seul à un moment donné, et ça ne peut être qu'au départ.

Bon réveillon quand même !

Posté par
carpediem
re : Joute n°94 : Le tour du lac 01-01-13 à 18:51

salut

ton lien marche de 19h17 ... j'ai pas d'image ...

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°94 : Le tour du lac 01-01-13 à 19:13

Ça dépend peut-être du navigateur.
Avec firefox, ça marche bien.

Posté par
carpediem
re : Joute n°94 : Le tour du lac 01-01-13 à 19:42

ok merci ...

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°94 : Le tour du lac 02-01-13 à 19:55

perduPuisqu'on a déjà (trop) souvent débattu sur ce sujet, je vais accepter mon poisson (surtout que la bonne réponse vient dans le second post) et me consoler dans la justesse de mes réponses.
A bien y relire, c'est vrai que "ne pas laisser le grand-père tout seul trop longtemps" devrait préférentiellement pousser à le laisser un petit moment... Donc, bonne année 2013!

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°94 : Le tour du lac 02-01-13 à 19:58

perduSympa, l'illustration. Merci, Nicolas_75!

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°94 : Le tour du lac 02-01-13 à 20:02

perduPar contre, le petit plus de Kidam aurait bien mérité une pastille blanche, quand même.

Citation :
Pour cela, il faut que le patriarche parte en compagnie de son gendre (l'occasion d'une discussion sérieuse au sujet de sa fille), pendant que les deux autres vont à leur rythme.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Joute n°94 : Le tour du lac 29-04-16 à 23:42

Je m'entraîne à faire des vidéos, et j'ai choisi ce sujet en guise d'exemple

http://visual-maths.tumblr.com/post/143599774440/vid%C3%A9o-r%C3%A9alis%C3%A9e-avec-processing-lanimation

Nicolas

Posté par
dpi
re : Joute n°94 : Le tour du lac 30-04-16 à 09:40

perduBonjours Nicolas

Ayant répondu très vite à l'énigme actuelle, j'ai vu ton intervention.

C'est absolument génial (on sent que le triangle équilatéral va venir...)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Joute n°94 : Le tour du lac 30-04-16 à 09:50

Merci de cette appréciation, dpi

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Joute n°94 : Le tour du lac 15-05-16 à 19:50

Je continue à jouer avec différents supports...
Voici un lien direct vers l'animation Processing : https://sites.google.com/site/visual0maths/ilemaths/ile-519745-le-tour-du-lac

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Joute n°94 : Le tour du lac 15-05-16 à 20:06

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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