Bonjour
Voici une proposition (certes pas l'unique solution) :
38 - 446 - 578 - 322 - 254 - 146 - 638
ce qui donne les sommes 2 à 2 :
484 - 1024 - 900 - 576 - 400 - 784 - 676
qui sont les carrés de :
22 - 32 - 30 - 24 - 20 - 28 - 26
Merci pour la joute !

Salut,
La réponse en image

On peut écrire dans cet ordre : 1-3-6-10-54-46-35

Bonjour

Une ronde qui devrait convenir

37 12 88 33 111 85 84
49 100 121 144 196 169 121
7² 10² 11² 12² 14² 13² 11²

Bonjour et Merci à godefroy_lehardi pour cette énigme.

Je propose la suite des nombres

2,7,42,39,25,11,14,

qui donne la  suite de carrés

9,49,81,64,36,25,16

Bonjour,
Il existe une multitude de solution dont celle-ci (dans l'ordre) :

35 - 1 - 99 - 225 - 64 - 80 - 449

Ce qui donne, additionné deux à deux :
36 - 100 - 324 - 289 - 144 - 529 - 484

Merci

A+
Torio

Bonjour tout le monde,

Il y a beaucoup de solutions. En voici une : 1 ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 34 ; 255 la plus simple mais

2 ; 7 ; 9 ; 16 ; 33 ; 67 ; 14 ou 3 ; 1 ; 8 ; 17 ; 19 ; 62 ; 838 marcherait tout autant

Bonjour,

Voici le placement de 7 nombres positifs non nuls tous différents de façon à ce que les sommes de 2 nombres voisins dans la ronde forment 7 carrés tous différents :
[2, 7, 42, 39, 25, 11, 14]

Merci pour cette énigme !

Bonsoir, je propose cette réponse. Bonne soirée

Je n'étais pas sûr de comment je devais interpréter l'énigme xD.

TT_TT J'ai oublié de l'attacher, désolé!

Bonjour Godefroy,

Je te propose une permutation circulaire de    { 78 , 3 , 97 , 24 , 120 , 49 , 147 }

Merci

1 3 6 30 51 49 15
donne les carrés
4 9 36 81 100 64 16

Salut godefroy,

Je propose : 1 3 6 10 15 34 255.

Merci.

_{Bientôt la joute n°100 !!!!}

Bonsoir,

je n'ai pas eu trop envie de lancer une recherche plus poussée (exhaustive), alors je me contente d'une solution qui convient :



Merci pour l'énigme.

Bonsoir
Je propose
A+

Bonsoir Godefroy,


Merci

On ne lira jamais assez l'énonçé!

Bonjour.
13-3-1-8-17-32-68 et on revient sur 13
On a les carrés de 4 2 3 5 7 10 9.
Il aurait été intéressant de demander la solution où la somme des sept nombres est la plus petite possible (ici 142).

Bonjour,

Je propose la ronde ci-dessous :
_{(C'est la seule que j'ai trouvée avec des nombres tous < 100, mais il y en a sûrement d'autres.)}



Si l'image ne passe pas, ça donne : 5 - 4 - 12 - 13 - 23 - 26 - 95

Merci.

Bonjour et merci pour l'énigme !

À bientôt.

Bonjour Godefroy

Je propose les nombres suivants :

83 - 17 - 8 - 56 - 25 - 11 - 38

Cela donne

83 + 17 = 100
17 + 8 = 25
8 + 56 = 64
56 + 25 = 81
25 + 11 = 36
11 + 38 = 49
38 + 83 = 121

Sept carrés tous différents.

Bonjour,

Une ronde possible :78, 3, 97, 24, 120, 49, 147 qui boucle avec 78 et l'on obtient successivement les carrés de 9,10,11,12,13,14,15.

bonjour

voilà une solution :

1 - 48 - 33 - 3 - 61 - 60 - 840

qui donnent pour carrés :

49 - 81 - 36 - 64 - 121 - 900 - 841

merci pour cette énigme

Avec un peu de régularité :

34
87
67
98
77
99
65

On pose :
xi = nombre contenu dans le rond n°i
cij = carré entre le rond n°i et le rond n°j

Avec ces notations, on a:
x1+x2 = c12
x2+x3 = c23
x3+x4 = c34
x4+x5 = c45
x5+x6 = c56
x6+x7 = c67
x1+x7 = c17

Le système possède bien plus d'inconnues que d'équation, même si toutes les hypothèses ne sont pas exprimées (tous les nombres sont entiers positifs, tous différents , les cij sont des carrés ,...).
Toute formulation mathématique des solutions est complexe.

Je propose donc une méthode plus simple et qui me semble mieux répondre à la question posée : "Comment placer 7 nombres positifs non nuls tous différents de façon à ce que les sommes de 2 nombres voisins dans la ronde forment 7 carrés tous différents ?"

Etape 1) Choisir un nombre quelquonque et l'écrire dans le rond n°1. (x1 est donc affecté)

Etape 2) Choisir deux carrés et les affecter aux arcs connectés au rond n°1 (c17 et c12 sont donc affectés). Bien sûr, pour respecter les contraintes, choisir c17 > x1, c12 > x1, c17 > 1 et c12 > 1 (car tous les xi doivent strictement positifs)

Etape 3) Le calcul de x2 et x7 est évident (x2 = c12 - x1 et x7 = C17 - x1). Vérifier que x1, x2 et x7 sont bien différents. Si ce n'est pas le cas, choisir d'autres valeurs en étape 1 ou 2.

Etape 4) Choisir deux autres carrés (différents de ceux sélectionnés en étape 2 ) et les affecter aux  arcs 23 et 67. (c23 et c67 sont maintenant affectés)

Etape 5) Le calcul de x3 et x6 est évident (x3 = c23 - x2 et x6 = c67 - x7). Vérifier que les xi sont bien différents. Si ce n'est pas le cas, choisir d'autres valeurs dans les étapes précédentes.

Etape 6) Cette dernière étape consiste à "fermer la boucle", c'est à dire déterminer x4, x5, c34, c45 et c46. Pour cela on dispose de 3 équations:
(e1):x3+x4=c34
(e2):x4+x5=c45
(e3):x5+x6=c56

En calculant la valeur de x4 et x6 à partir de (e1) et (e3) et en remplaçant dans (e2), on obtient:

(e): c34 - x3 + c56 - x5 = c45

Soit une équation du style : x² + y² = z² + N (avec N=x3+x5) qui admet de nombreuses solutions,
Par exemple, avec z-y=1 (e4):
Si N=2n  alors x=2n+1, y=2n²+n, z=y+1
Si N=2n+1 alors x=2n, y=2n²-n-1, z=y+1

Avec ces valeurs (x=c34, y=c56, z=c45,x3 et x6 connus), il suffit ensuite résoudre les équations (e1) et (e3). Bien sûr, à la fin de ce  calcul, on peut avoir des valeurs xi, cij non uniques. Si c'est la cas, il est toujours possible de rechercher d'autres solutions en posant z-y égale une autre valeur que celle posée dans (e4).


  

Bonjour,
Je propose en tournant à partir d'un point quelconque
4,12,13,23,77,44,5

voila

Bonjour à tous

Ma réponse ci-dessous.

Merci pour l'énigme

Question : Comment placer 7 nombres positifs non nuls tous différents de façon à ce que les sommes de 2 nombres voisins dans la ronde forment 7 carrés tous différents ?
Par exemple:
      
ou

Voici 7 nombres qui conviennent :
6800, 5300, 2800, 800, 1700, 13184, 3200.

Ils donnent les 7 carrés suivants :
110², 90², 60², 50², 122², 128², 100².

Je n'ai pas la prétention d'avoir trouvé les plus petits !

Merci pour cette énigme qui m'a donnée du fil à retordre !

Moi je metterai :

1 - 8 - 28 - 36 - 45 - 76 - 24

Chaque somme donne un carré différent des autres. J'espère avoir bien compris l'énigme

bonjour,

voici dans l'ordre les sept nombres :
312
12
388
96
480
196
588

Merci pour l'énigme,

Dagon

30 6 10 71 50 175 114

Clôture de l'énigme :

Elle était bien gentille, celle-ci ! De temps en temps, ça fait du bien
Mais quelques-uns (et pas des moindres) se sont pris les pieds dans la ronde.

@ Glapion : heureusement que tu as clairement indiqué quelle était ta proposition, les autres apparaissant comme du bonus.
Sinon c'était le car ta 2^ème solution ne convient pas.

Bravo à panda_adnap pour sa 4^ème victoire !

Je félicite également les 13 autres participants qui ont réalisé un sans-faute ce mois-ci (on est peut-être trop gentil finalement )

Ah oui, les carrés aussi devaient être tous différents !

Oui c'est ce que je n'avais pas vu pour ma seconde solution. Comme quoi, il faut drôlement relire l'énoncé. Je me suis fait avoir bêtement à la précédente énigme parce que j'avais mal lu.

Pdiopphante, pour la beauté des carrés successifs !

Rogerd , masab et Chatof pour leurs solutions avec la plus petite somme 140, suivis de près par Scrattou59, manpower et plumemeteore avec 142.

Merci à Chatof pour ses nombreuses solutions minimales et ses explications.

Bravo à panda_adnap pour sa victoire !
Vive le plantigrade palindromique !

Bravo  Panda_adnap

Et bravo à Nofutur2  et à Rijks qui en plus on trouvé la question bonus. Joute n°98 : Une histoire de segments



Je me corrige Joute n°99 : La ronde des carrés :
c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7 sont des entiers différents 2 mais peu supérieurs de leur moyenne m.

La réponse de Rijks est fausse car 99+1 = 100 = 30+70 .

Oups !
Erreur corrigée.

Bonjour

Maudit 121 (2 fois)

Merci

Et bon courage pour le mois de février qui s'annonce un cru bien difficile (mais d'autant plus intéressant !)

je suis daccord avec Scrattou59                                                      

bonjour,

je n'ai pas bien compris l'énigme. Est ce que deux nombres voisins forment un carré???