Bonjour à tous,
je vous propose une énigme, basée sur le jeu du jumping fingers. Le principe est le suivant : prenons pour commencer un couple de deux chiffres entre 0 et 9. Par exemple, (1;7).
Nous allons construire une suite de chiffres à partir de ce couple selon l'algorithme suivant (ce que j'appelle le "jumping fingers") :
1) Les deux premiers chiffres de la suite sont dans l'ordre les deux chiffres du couple.
La suite à ce stade : 1;7
2) On fait l'addition des deux chiffres aux extrémités de la suite (ici 1 et 7), et on place le résultat à gauche (en coupant en deux chiffres dans le cas où la somme est supérieure à 10).
La suite à ce stade : 8;1;7. Itération 1.
3) On fait l'addition des deux chiffres aux extrémités de la suite (ici 8 et 7), et on place le résultat mais cette fois à droite.
La suite à ce stade : 8;1;7;1;5. Itération 2.
4) Et ainsi de suite, on répète les étapes 2 et 3 en alternant les deux côtés.
Itération 3 : 1;3;8;1;7;1;5
Itération 4 : 1;3;8;1;7;1;5;6
...
Attention : notez bien qu'à la toute première itération, le résultat est d'abord placé à gauche !
Il y a plein de propriétés intéressantes en rapport avec ces suites. Nous allons ici continuer le jumping fingers jusqu'à ce que les 10 chiffres (de 0 à 9) apparaissent au moins une fois dans la suite. Pour le couple (1;7), cela se produit à l'itération numéro 15, la suite est alors :
2;1;1;4;5;1;0;7;1;3;8;1;7;1;5;6;1;3;4;9;1;0;1
On note J la fonction qui à un couple C associe la première itération où la suite associée au couple C contient au moins une fois tous les 10 chiffres. Ainsi, .
Certains malins auront néanmoins immédiatement remarqué que pour certains couples, cela ne se produira jamais. Par exemple avec (0;0) de façon triviale, mais ce n'est pas le seul.
On appelle P l'ensemble des couples pour lesquels cela arrivera effectivement.
Voici donc les questions :
1) Quel est le cardinal de P (autrement dit : pour combien de couples sur les 100 possibles on finira par trouver dans leur suite associée au moins une fois tous les chiffres) ?
2) Lister les couples C de P tels que est minimale puis maximale. Que valent ce minimum et ce maximum ? Expliciter les suites alors obtenues pour ces couples.
Bonne recherche.
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