Bonjour,
je vous propose les questions suivantes:
Soit A l'ensemble des polynômes réels de degré n et de coefficient dominant 1.
Déterminez
Est-il atteint et si oui en quel polynôme?
Bonjour jarod128,
merci pour ce problème intéressant que je ne connaissais pas.
A partir des premières valeurs de je conjecture que le minimum vaut
Bonjour jandri
Je n'ai pas le minimum et me posais donc la question.
Je pensais à projeter tn sur les polynômes de degré n-1 mais orthonormer cet ensemble via le produit scalaire associé est pénible. Si quelqu'un a une idée.
Bonjour,
En cherchant un peu sur internet on tombe sur cette référence :
"Constructive Approximation", DeVore, Lorentz
Dans la section 10 du chapitre 3, la conjecture de jandri semble être démontrée
Bonsoir,
j'ai trouvé le même résultat que jandri pour n{1, 2}.
Par des méthodes pénibles.
Pour l'existence d'un polynôme assurant le minimum on peut utiliser le fait que est une norme et que l'on a un compact ( fermé borné dans Rn ).
Je remercie jarod128 pour cet exercice.
Bonjour,
merci à jarod128 pour avoir posé ce problème très intéressant et à Maru0 pour sa référence qui m'a permis de faire une démonstration.
J'ai eu un peu de mal à comprendre la démonstration dans l'article car il démontre quelque chose de plus général et il y a plusieurs lemmes auparavant mais finalement la démonstration est assez simple.
On se ramène d'abord à l'intervalle en posant
.
On définit les polynômes de Tchebychev de seconde espèce par .
On vérifie que est unitaire de degré
et que
Un premier lemme :
Soient dans
tels que
ne divise pas
et
une fonction continue par morceaux de période
.
Alors et
Un deuxième lemme (conséquence du premier) :
Si est un polynôme de degré au plus
alors
En considérant on en déduit facilement que si
est unitaire de degré
alors
avec égalité si et seulement si
Je n'ai pas donné les démonstrations mais seulement les étapes afin que ceux qui veulent puissent les chercher.
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