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Just For Fun

Posté par
jarod128 19-02-21 à 14:08

Bonjour,
je vous propose les questions suivantes:
Soit A l'ensemble des polynômes réels de degré n et de coefficient dominant 1.
Déterminez $inf\{\int _0^1{|P(t)|dt, P \in A} \}$
Est-il atteint et si oui en quel polynôme?

Posté par re : Just For Fun 19-02-21 à 23:03

Bonjour jarod128,

merci pour ce problème intéressant que je ne connaissais pas.

A partir des premières valeurs de $n$ je conjecture que le minimum vaut

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et qu'il est atteint pour le polynôme

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Mais je ne l'ai pas démontré!

Posté par re : Just For Fun 20-02-21 à 09:39

Bonjour jandri
Je n'ai pas le minimum et me posais donc la question.
Je pensais à projeter tⁿ sur les polynômes de degré n-1 mais orthonormer cet ensemble via le produit scalaire associé est pénible. Si quelqu'un a une idée.

Posté par re : Just For Fun 20-02-21 à 14:12

Bonjour,

En cherchant un peu sur internet on tombe sur cette référence :

"Constructive Approximation", DeVore, Lorentz

Dans la section 10 du chapitre 3, la conjecture de jandri semble être démontrée

Posté par re : Just For Fun 20-02-21 à 20:43

Bonsoir,
j'ai trouvé le même résultat que jandri pour n{1, 2}.
Par des méthodes pénibles.
Pour l'existence d'un polynôme assurant le minimum on peut utiliser le fait que $\int _0^1{|P(t)|dt$ est une norme et que l'on a un compact ( fermé borné dans Rⁿ ).

Je remercie jarod128 pour cet exercice.

Posté par re : Just For Fun 10-03-21 à 11:18

Bonjour,

merci à jarod128 pour avoir posé ce problème très intéressant et à Maru0 pour sa référence qui m'a permis de faire une démonstration.
J'ai eu un peu de mal à comprendre la démonstration dans l'article car il démontre quelque chose de plus général et il y a plusieurs lemmes auparavant mais finalement la démonstration est assez simple.

On se ramène d'abord à l'intervalle $[-1,1]$ en posant $u=2t-1$ .

On définit les polynômes de Tchebychev de seconde espèce par $U_n(\cos(t))=\dfrac{\sin((n+1)t)}{\sin(t)}$ .
On vérifie que $\dfrac1{2^n}U_n$ est unitaire de degré $n$ et que $\dfrac1{2^n}\int_{-1}^1|U_n(x)|dx=\dfrac1{2^{n-1}}$

Un premier lemme :
Soient $a,b$ dans $\N^*$ tels que $a$ ne divise pas $b$ et $f$ une fonction continue par morceaux de période $\dfrac{2\pi}a$ .
Alors $\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(bt)dt=0$ et $\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(bt)dt=0$

Un deuxième lemme (conséquence du premier) :
Si $P$ est un polynôme de degré au plus $n-1$ alors $\int_{-1}^1P(x)\; {\rm signe}(U_n(x))dx=0$

En considérant $P-\dfrac1{2^n}U_n$ on en déduit facilement que si $P$ est unitaire de degré $n$ alors $\int_{-1}^1|P(x)|dx\geq\dfrac1{2^{n-1}}$ avec égalité si et seulement si $P=\dfrac1{2^n}U_n$

Je n'ai pas donné les démonstrations mais seulement les étapes afin que ceux qui veulent puissent les chercher.