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(juste partie 2) Dérivation 1ereES

Posté par
ejfii
23-04-19 à 17:41

Bonjour,

Besoin d'aide pour la partie 2 uniquement je vous remercie d'avance ;

Une entreprise fabrique des pizzas comptées par lots de 40 pizzas. On suppose qu'elle vend toute sa production. Les
coûts de production sont, d'une part, les coûts fixes (amortissement du four, assurances, etc.), d'autre part, les coûts
variables (ingrédients, salaires, etc.) qui dépendent du nombre q de lots fabriqués.
On estime que la fonction de coût total de cette entreprise est donnée par la fonction suivante :
C(q) =1/2*q^3-2q^2+5q+20

où q est le nombre de lots fabriqués et C(q) est exprimé en dizaine d'euros.
1. Études du coût marginal et du coût total.
Le coût marginal, noté Cm(q) est, pour une quantité q donnée, l'augmentation du coût occasionnée par la production d'une unité supplémentaire. Sa valeur exacte est donc Cm(q) = C(q +1)−C(q) mais dans la pratique on
prend la valeur approchée Cm(q) = C

(q), la différence entre les deux valeurs étant négligeable.
(a) Étudier les variations de la fonction C sur l'intervalle [1; 8].
(b) Étudier les variations de la fonction C

sur l'intervalle [1; 8].
(c) Représenter graphiquement, dans le même repère, les fonctions C et C

(unités graphiques : 2 cm pour un
lot en abscisses et 1 cm pour 5 dizaines d'euros en ordonnées).

2. Étude du coût moyen.
Le coût de production par unité produite est appelé coût moyen de production ; on le note généralement CM (q).
On a donc CM (q) = C(q)/q

.
(a) Une fonction auxiliaire
Soit D(q) la fonction définie sur [1; 8] par D(q) = q
q^3 +6q-20

i. Étudier les variations de D(q) puis dresser son tableau de variations.
ii. En déduire que l'équation D(q) = 0 admet une unique solution q0 dans [1; 8].
iii. À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de q0 au dixième.
(b) Expliquer pourquoi l'entreprise à tout intérêt à produire une quantité telle que CM (q) soit minimale.
(c) Montrer que C'mq = (q^3 +6q-20)/q


(d) Dresser le tableau des variations de CM
(e) En déduire la production optimale de l'entreprise.
(f ) i. Représenter CM dans le même graphique que C et Cm.
ii. Déterminer l'abscisse du point d'intersection des courbes de CM et Cm.
Que constate-t-on ? Cette propriété est toujours vraie

Merci d'avance (ce n'ai pas mon devoir mais celui d'un ami)

Posté par
sanantonio312
re : (juste partie 2) Dérivation 1ereES 23-04-19 à 17:43

Bonjour,
Il y a une faute de frappe dans la définition de D(q)
Quel problème rencontres-tu?

Posté par
ejfii
re : (juste partie 2) Dérivation 1ereES 23-04-19 à 18:16

En effet, D(q) = q^3 +6q-20

je ne vois pas comment résoudre à partir de a)ii car impossible avec le discriminant non car il y a des puisssance 3 ou faut t'il se servir de la fonction que l'on à déja dérivé?

Posté par
sanantonio312
re : (juste partie 2) Dérivation 1ereES 23-04-19 à 18:30

Tu peux factoriser D(q) en remarquant que 2 en est une racine "évidente"

Posté par
sanantonio312
re : (juste partie 2) Dérivation 1ereES 23-04-19 à 18:32

Mais même sans factoriser, qu'est-ce qui t'empêche d'étudier D(q)?

Posté par
ejfii
re : (juste partie 2) Dérivation 1ereES 23-04-19 à 18:39

Apres factorisation je trouve :

D(q) = (x - 2)(x^2 +2x + 10)

Je résoud l'équation est je trouve 2 pour (x - 2) = 0 (solution évidente) est un discriminant négatif donc pas de solution, Merci je n'avais pas penser à factoriser !

et donc pour la question suivante :  À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de q0 au dixième.

Il suffit juste de remplacer les x par 0?? je ne penses pas vu que le résultat serait 20 et pas besoin de calculatrice...

Posté par
ejfii
re : (juste partie 2) Dérivation 1ereES 23-04-19 à 18:44

le résultat serait -20 plutôt ( faute de frappe)

Posté par
ejfii
re : (juste partie 2) Dérivation 1ereES 23-04-19 à 19:37

Ah non j'ai compris cette partie

les autres questions ne me posent pas de probléme à part celle-ci :
Montrer que C'mq = (q^3 +6q-20)/q

Posté par
ejfii
re : (juste partie 2) Dérivation 1ereES 23-04-19 à 19:57

j'ai reussi la question précédente

Posté par
sanantonio312
re : (juste partie 2) Dérivation 1ereES 24-04-19 à 09:35

En fait, je ne pense pas que le but de l'exercice était de factoriser.
Mais en étudiant D(q), tu dois la trouver croissante.
Tu dois également trouver que D(1)<0 et D(8)>0.
Tout ce qu'il faut pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

Posté par
sanantonio312
re : (juste partie 2) Dérivation 1ereES 24-04-19 à 09:38

Il s'agit plutôt de C'M(q). Non?
Avec CM (q) = C(q)/q.
Montre-nous comment tu fais le calcul

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