bonjour
permettez moi de vous répondre

Ce que vous essayez de démontrer est un résultat des cours. Car ce n'est
pas une propriété des fonctions exponentielle et logharithme c'est
la propriété de toutes fonctions f et g telles que l'une est
la réciproque de l'autre au sens de la composition des fonctions.

Je vais vous donnez cette démonstration.

Si M(x,y) est point du plan et M'(x',y') son symétrique
par rapport à la droite d'équation y=x

alors
x'=y
et
y'=x

supposons maintenant que M appartient au graphe de la fonction exponentielle.
alors:

y=exp(x)   donc y>0

en subustituant x par y' (car y'=x) et y par x' (car
x'=y) on obtient:

x'=exp(y')    et x'>0

en prennant le logarthme de chaque membre qui sont strictement positifs
on a:

ln(x')=ln(exp(y'))=y'

y'=ln(x')

donc M'(x',y') apprtient au graphe de la fonction logartitme.

voila

bon courage  

Soit P un point d'abscisse X de la courbe représentant f(x)
= ln(x), on a P(X ; ln(X))

Soit le point Q symétrique de P par rapport à la droite d'équation
y = x, on a Q(ln(X) ; X). Montrons-le:

La perpendiculaire à la droite y = x passant par P a pour équation:
y = -x + X + ln(X)
Elle rencontre la droite d'équation y = x au point A((1/2)(X+ln(X)
; (1/2)(X+ln(X))
Le symétrique de P par rapport à A a pour coordonnées: Q((1/2)(X+ln(X)
+ ((1/2)(X+ln(X)) -X) ; (1/2)(X+ln(X)) +(1/2)(X+ln(X))-ln(X))
Q(X+ln(X)-X ; X+ln(X)-ln(X))
Q(ln(X) ; X)

->
Le point symétrique d'un point d'absisse X de la  courbe représentant
f(x) = ln(x) est sur la courbe représentant g(x) avec ln(g(x)) =
x.

ln(g(x)) = x
g(x) = e^x
Et donc le point symétrique d'un point de la  courbe représentant
f(x) = ln(x) est sur la courbe représentant g(x) = e^x.
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Sauf distraction.  

Je ne l'ai pas fait, mais on peut faire la démonstration dans
l'autre sens et montrer que:

Le point symétrique d'un point de la courbe représentant
g(x) = e^x est sur la courbe représentant f(x) = ln(x).