Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Fonction ExponentielleTopics traitant de Fonction Exponentielle [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

justifier un encadrement

Posté par
aya4545 24-01-22 à 10:02

bonjour
priere m aider a terminer cet exercice
g_n(x)=\frac{x}{\sqrt[n]{x}}e{\frac{x}{2};x>0 etg(0)=-1
1) montrer que g est continue a droite de 0
2)justifier que l equation g(x)=0admet une unique solution a_npuis que 0<a_n<1
3)etudiez suivant les valeurs x>0le signe  de g(x)
montrer que \forall x>0 \quad 1-\frac{1}{x}\leq \ln(x) \leq x-1
4) en deduire \forall n\geq 2 \quad \frac{a_n^2}{n-1}\leq 1-a_n\leq \frac{a_n}{n-1} puis que a_n\geq \frac{n-1}{n} et en deduire \lim a_npuis \lim n(a_n-1) et montrer que \lim\sqrt[n]{a_n}=1

ce qui me bloque c est l inegalité de droite de la question 4)le reste je l ai fait et merci

Posté par
larrechre : justifier un encadrement 24-01-22 à 10:37

Bonjour,

Tu es sûr de ta définition de g ?

Posté par
aya4545re : justifier un encadrement 24-01-22 à 11:27

salut
je m excuse : g_n(x)=\frac{x}{\sqrt[n]{x}}e{\frac{x}{2}-1;x>0   et g_n(0)=-1

Posté par
lakere : justifier un encadrement 24-01-22 à 12:22

Bonjour,

En attendant larrech,

si g_n(x)=\dfrac{x}{\sqrt[n]{x}}\,e^{\frac{x}{2}}-1, il me semble que la seconde partie de l'inégalité du 4) est fausse.

Posté par
aya4545re : justifier un encadrement 24-01-22 à 13:05

salut
effectivement  lake
dans geogebra j ai crée une variable entiere n
j ai tracé C_gn j ai tracé  le point A intersection  C_g et l axe des abscisses
a_n=x(A) (abscissede A)
jai crée apres deux variables  b=1-x(A)  \quad  c=\frac{x(A)}{n-1} et bien pour n assez grand b\to 0.3 et c\to 0

Posté par
lakere : justifier un encadrement 24-01-22 à 13:21

J'avais  fait à peu près la même chose avec GeoGgebra (c'est ton cqui tend vers 0)

  

Posté par
aya4545re : justifier un encadrement 24-01-22 à 13:38

salut
puisque a_n \to 1 donc b_n \to 0 \quad  et c_n \to 0 mais (b_n)  tend plus rapidement à 0 que (c_n)

Posté par
lakere : justifier un encadrement 24-01-22 à 13:47

Avec ta fonction g_n, je ne suis pas sûr que a_n tende vers 1.

J'ai un peu bricolé ; tu peux reprendre ton exercice avec g_n(x)=x^{n-1}\,e^x-1

Il faut juste oublier \lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt[n]{a_n} mais je crois que tout le reste "colle"

Posté par
aya4545re : justifier un encadrement 24-01-22 à 14:15

merci lake
c est exact  j ai supposé que la deuxieme inegalitée est vraie pour demontrer que   \frac{n-1}{n}\leq a_n \leq 1 pour en deduire a_n\to 1 or ce n est plus le cas
d ailleur meme avec geogebra pour n=10^9   a_n a peu pres egale a 0.7
je vais chercher avec g_n(x)=x^{n-1}\,e^x-1 et merci

Posté par
aya4545re : justifier un encadrement 24-01-22 à 14:48

salut
oui lake  jai tout verifié  et meme pour :
pour \lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt[n]{a_n}=1 si jamais je me suis pas trompée
en effet on peut montrer que \frac{a_n\sqrt[n]{a_n}}{n(n-1)}\leq 1-\sqrt[n]{a_n}\leq \frac{a_n}{n(n-1)}

Posté par
lakere : justifier un encadrement 24-01-22 à 14:58

J'étais bien persuadé que tu viendrais facilement à bout de ce nouvel exercice

Revenons à ta fonction g_n :

  

Citation :
d ailleur meme avec geogebra pour n=10^9   a_n a peu pres egale a 0.7


  Oui, on peut montrer que la limite de (a_n) est l'unique solution de l'équation x+2\,\ln\,x=0  soit environ 0.703467...

  Ce qui confirme, si besoin était,  que ton énoncé initial était faux
  


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !