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[Khôle] Mathématiques, semaine n°4.

Posté par
1 Schumi 1 04-10-07 à 15:22

Bonjour à tous,

Enfin un exercice plutôt intéressant...

Le voici donc:

Citation :

Le but de l'exercice est de démontrer un résultat géométrique assez intuitif: étant donnés un polygone Sn formé de n points de plan, d'affixes les complexes s0,...sn-1, et la transformation géométrique du polygone en un autre formé des milieux des sommets, si l'on itère cette transformation géométrique, le polygone "tend" vers un point, qui est l'isobarycentre des n sommets d'affixes s0,...sn-1.

On considère un entier \rm n\in\mathbb{N}^* et l'on pose \rm\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}. On note \rm\mathbb{U}_n l'ensemble des racines n-èmes de l'unité.

1) Soit \rm p\in\mathbb{Z}. Calculer la somme \rm W_p=\Bigsum_{u\in\mathbb{U}_n}u^p.


On considère un n-uplet de complexes \rm S^{(0)}=(s_0,...,s_{n-1})\in\mathbb{C}^n. On lui associe le n-uplet \rm T^{(0)}=(t_0,...,t_{n-1})\in\mathbb{C}^n défini par: \rm\forall i\in[|0,n-1|], t_i=\Bigsum_{j=0}^{n-1}\omega^{ij}s_j (1).


2) Exprimer le complexe \rm s_0 en fonction des complexes \rm t_0,...,\rm t_{n-1}. Plus généralement, soit \rm j\in[|0,n-1|]. En multipliant \rm t_i par \rm\omega^{-ij} et en sommant les égalités obtenues, exprimer le complexe \rm s_j en fonction des complexes \rm t_0,...,t_{n-1}.


On construit maintenant par récurrence une suite \rm S^p=(s_0^p,...,s_{n-1}^p) de n-uplets de la façon suivante. On pose par convention \rm s_n^p=s_0^p et \rm\forall j\in[|0,n-1|], s_j^{p+1}=\frac{s_p^j+s_{j+1}^p}{2}.
A chaque n-uplet \rm S^p, on fait correspondre le n-uplet \rm T^p défini par la relation (1).


3) Calculer les composantes du n-uplet \rm T^{p+1} en fonction des composantes du n-uplet \rm T^p.

4) Montrer que \rm\forall j\in[|1,n-1|], |1+\omega^j|<2. En déduire la limite quand \rm p\to +\infty de chacune des composantes \rm t^p_j du n-uplet \rm T^p. Conclure.


Du coup, pas de question de cours... La classe

Petite précision pour la 3): le "p" en exposant ne signifie pas "puissance p" mais signifie seulement que c'est un élément de Sp. Non  je dis ça, parce que j'ai perdu dix minutes avant que le khôleur me le dise.

Bonne réflexion.


Ayoub.

Posté par
infophilere : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 04-10-07 à 15:30

Hello Ayoub

Ca va ?

Sympa cette khôlle ! Si j'ai un moment j'essaierai

- Première Khôlle de Physique cet aprem -

Posté par
1 Schumi 1re : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 04-10-07 à 20:25

Salut Kévin,

Oui oui, ça va. En fait c'est mon prof qui me collait aujourd'hui: c'est pour ça que j'ai un exo sympa. La semaine prochaine, je sens que ça va être aussi foireux qu'avant (sauf que ce sera de la géométrie, ouy ouy ouy ).

Ca s'est bien passé sinon?

Posté par
infophilere : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 04-10-07 à 20:27

Oui la semaine c'est géométrie pour moi aussi

C'est mon prof de physique qui me collait aussi aujourd'hui, il est génial ! Et oué ça s'est pas trop mal passé

J'ai plein de trucs à traduire en anglais donc bonne soirée ^^

Posté par
Marie-Cre : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 10-10-07 à 17:48

salut à tous et à toutes
Bon, Voici ma khôlle (bien sûr, mes exos ne sont pas aussi durs que les vôtres)

1) Définition, injection, surjection.
Montrer que si g°f est injective alors f l'est aussi.
Montrer que si g°f est surjective alors g l'est aussi.

2) Montrer que pour x appartenant à ]-1,1],

3$\arctan(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}})=\frac{1}{2}arccosx
Essayez de le montrer de 2 façons différentes.
Voilou

Posté par
simon92re : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 10-10-07 à 17:50

en tout cas pour la 1, c'est pas très dur, on l'a vu cette année...

Posté par
Marie-Cre : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 10-10-07 à 17:54

En terminale, on voit ça? (effectivement, c'est une question de cours).

Posté par
simon92re : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 10-10-07 à 18:00

on prend un peu d'avance en spé

Posté par
infophilere : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 10-10-07 à 18:08

Oui on avait abordé un peu ces notions en Term mais c'est hors programme

Posté par
Marie-Cre : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 10-10-07 à 18:10

salut Kévin
En terminale, on a déjà essayé de finir le programme (c'était pas gagné ) avant de faire du hors-programme.

Posté par
simon92re : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 10-10-07 à 18:13

nous on a vu les anneaux, les corps, les groupes (commutatif et tout) fonction caractéristique, binaire... c'est pas grand chose, mais c'est déja pas mal

Posté par
Marie-Cre : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 12-10-07 à 21:54

bonsoir
Bah alors, elle n'intéresse personne ma colle???
Moi qui pensais que vous trouveriez en 30 secondes.

Posté par
Fractalre : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 12-10-07 à 21:59

Bonjour

Pour montrer que 3$\arctan(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}})=\frac{1}{2} \arccos x, je n'ai pas essayé mais il y a à mon avis quatre méthodes qui devraient focntionner (dont trois à peu près équivalentes)

- On dérive puis on vérifie que c'est bien égal en une valeur particulière
- On applique cos aux deux côtés de l'égalité
- On applique sin
- On applique tan

en faisant attention pour les trois dernières méthodes aux ensembles de définition, aux modulo 2pi, et autres trucs casse-pieds ^^

Fractal

Posté par
1 Schumi 1re : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 13-10-07 à 16:00

Marie-C >> Pour répondre franchement: non.

(It was a joke, sure ).

Posté par
infophilere : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 13-10-07 à 16:06



Comme dit Fractal c'est toujours la même méthode pour ce genre de truc (et pas très passionant faut le dire )

 Cliquez pour afficher

Posté par
1 Schumi 1re : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 13-10-07 à 16:07

On parie ce que tu veux, que deux au moins d'entre elles sont dans mon livre.

Posté par
john_kennedyre : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 13-10-07 à 16:11

Eh bah... sacré khôlle. C'est plutôt le genre de truc qu'on se tape en DS ça ^^

Posté par
1 Schumi 1re : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 13-10-07 à 16:14

Non, en DS nous on a des trucs on ne peut plus bidon. (Sans vouloir me vanter, ça doit être l'exo le plus intéressant donné depuis le début de l'année en math).

Posté par
infophilere : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 13-10-07 à 16:17

Ayoub > Je l'ai déjà prouvé de deux manières différentes, j'espère que ton bouquin a les deux autres

Si tu trouves mailes moi

Salut john !

Posté par
1 Schumi 1re : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 13-10-07 à 16:50

En fait, il y a trois méthodes (donc au moins une que tu n'as pas). Je te l'envoie de suite.

Posté par
infophilere : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 13-10-07 à 16:52

Merci Ayoub !

Posté par
john_kennedyre : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 14-10-07 à 12:01

schumi >>> "Non, en DS nous on a des trucs on ne peut plus bidon."
Je me méfie de la bidonerie que tu leurs accordes Faudrait que j'y jette un oeil ^^

Salut info!
Alors, toujours pas défenestré? Nous on a fini les coniques on va commencer l'algèbre... Ca va pas être marrant non plus je sens!

Posté par
1 Schumi 1re : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 14-10-07 à 13:16

L'algèbre, c'est clââââsse. Les ev et tout niam niam, je vous envie.

Posté par
nomisre : [Khôle] Mathématiques, semaine n°4. 14-10-07 à 15:05

bonjour,

fractal > avec un paramétrage ca abouti ?


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