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A première vue, je dirai "fermé borné". Je vois pas trop d'autres candidats...
De manière assez heuristique, voici mes raisons:
Je prends X une telle partie, et je l'écris comme réunion de ses composantes connexes. C'est qui sont d'intérieur vides n'ont absoluement aucun interêt, je les enlève. Il ne reste plus que des ensembles sympas, à savoir des intervalles non triviaux. Or sur un intervalle non "fermé et borné" on peut toujours trouver un exemple tordu de fonctions continues mais non uniformément.
Alors X est une union (forcément finie) de segments et on conclut avec Heine.

L'idée est bonne ou je suis complètement à côté de la plaque là?

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Euh, t'es un peu à côté de la plaque en fait
Déjà je ne comprends pas pourquoi tu ne t'intéresses qu'aux composantes connexes, la continuité uniforme n'est pas quelque chose de local, donc on ne peut pas se restreindre à l'étude des intervalles.
De plus tu dis que les composantes connexes réduites à un point n'ont aucun intérêt et tu conclus que X doit être fermé borné, mais Z n'a que des composantes connexes réduites à un point et n'est pas borné pour autant.

Je te laisse chercher encore un peu, je donnerai peut-être une indication si tu ne trouves pas après.

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Je dirais que nécessairement X est fermé (borné n'est pas nécessaire)

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J'y ai repensé depuis... effectivement je me suis vautré complètement. Il y a uné énorme hypothèse que j'ai fait et qui se trouvait être complètement érronnée.
X doit être fermée, ça j'en suis convaincu et je pense être arrivé à le démontrer. (Je vais bien me relire avant de poster cette fois-ci ).
Visiblement, c'est pas suffisant.
Si X est une union finie se segments, c'est trivialement vrai. En y ajoutant des singletons (sans qu'il y ait points d'accumulation) il me semble que ça marche aussi. Et je crois pas qu'on puisse faire mieux.

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En effet, X doit être fermé, mais toutes les parties fermées ne conviennent évidemment pas.
Il est possible de trouver une caractérisation nécessaire et suffisante très jolie

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Oui, X est fermé (je veux bien voir ta démo ).
Par contre X peut très bien être discret (donc une union de singletons) sans vérifier la propriété, ou bien avoir une infinité de composantes connexes (l'ensemble de Cantor par exemple) en la vérifiant.
Ce n'est donc pas encore fini, il est possible de trouver une CNS s'exprimant simplement

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Regarder le cas X = et essayer de comprendre ce qu'il se passe.

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Un truc du style X=FUD avec F fermé et D discret?

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Euh, ça y ressemble, mais de très loin
Déjà si tu prends F = R c'est foutu (il faudrait au moins F compact), et puis de toutes façons il existe des ensembles X discrets (même sans point d'accumulation dans R) qui ne vérifient pas la propriété.

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Moi aussi j'essaye un peu au pif! X est fermé et l'adhérence de son intérieur (c'est le genre de trucs que j'adore écrire) est compacte! Enfin, ça veut dire que l'intérieur est borné!

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Raté
Il est tout à fait possible de trouver une partie X discrète et sans point d'accumulation dans R qui ne vérifie pas la propriété.

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Ca alors! je réfléchirais encore! j'aurais dit que distances mutuelles minorées par un truc > 0 suffisait!

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Une condition suffisante:  A est compacte
Une condition nécessaire:  A est fermée
En effet, si A n'est pas fermée, on prend un élément a appartenant à l'adhérence de A et n'appartenant pas à A. La fonction f(x)=1/(x-a) est continue sur A, mais n'est pas uniformément continue sur A.

Je n'ai pas trouvé de condition nécessaire et suffisante simple. Je n'ai trouvé que ceci:
A est fermée et il existe un réel strictement positif a pour lesquel l'ensemble     est borné.
Démonstration sur demande

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Allez, je me lance.
On suppose X non fermée, alors il existe a dans l'adhérence de X mais pas dans X. On prend alors une suite d'éléments (a_n) de X qui converge vers a. On ne perd strictement rien à la supposer monotone. Je la prend décroissante.
On considère alors la fonction de X dans R tel que f(x)=1/(x-a).

f est continue sur X: On passe par la caractérisation séquentielle, il me semble que ça marche (détails?)
f n'est pas uniformément continue: Il y a visiblement un problème en a. On prend par exemple e=1 et un alpha correspondant. On aboutit à une contradiction en reprenant la suite (a_n) définit ci-dessus.

Je me suis encore complètement viandé ou c'est potable là?

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Je te laisse réfléchir

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La condition que j'ai trouvée n'est pas tout à fait la même, mais dit essentiellement la même chose (mais elle n'est pas beaucoup plus jolie pour autant ^^)

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C'est bon !
Tu as montré que X est nécessairement fermé, mais maintenant que dire de ce qu'il se passe à l'infini?
(regarde ce qui se passe avec X = Z)

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Pour moi, si ça marche dans le cas de Z c'est parce que les points sont assez éloignés les uns des autres. Je prends p et q alors puisque |p-q|>= 1 ou p=q en prenant alpha = 1/2 ça va marcher à coup sûr.
Je serai donc tenté de dire que si deux points quelconques (autres que ceux des segments qui sont en nombre finis) sont forcéments distants d'au moins d avec d>0.

Mais t'as dit une "jolie" caractérisation donc je pense que j'y suis pas encore (ou alors tu as un sens bizarre de l'esthétisme...).

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Non non, j'ai un sens bizarre de l'esthétisme, ne te base pas sur le fait que j'aie dit que ça doive être joli
Sinon j'insiste encore une fois, il n'y a aucune raison pour qu'il y ait un nombre fini de segments, tout compact convient et ça se saurait si les compacts avaient tous un nombre fini de composantes connexes.
À part ça t'as quasiment la même caractérisation que moi, reste plus qu'à la formuler précisément et à la démontrer

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Oui au temps pour moi, j'ai écrit nombre fini de segments mais je pensais plutôt à "leur union est bornée", bref compact quoi. J'y réfléchis cette aprèm ou demain.

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Je dois me faire vieille! Comme je ne lis pas les blankés j'ai vu la condition de perroquet et je n'arrive pas à voir si elle est équivalente à la mienne; enfin, d'après ce que tu dis, je ne vois pas pourquoi il y a d'autres parties que celles que je propose!

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X est fermé et l'intérieur de X est d'adhérence compacte.
Pourtant, f(x)=x² est continue sur X, mais pas uniformément continue sur X.

La condition que tu as donnée est donc nécessaire, mais elle n'est pas suffisante.

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J'avais même envisagé exactement cet exemple et bêtement je l'ai vu uniformément continu!