[Kholle] Dérivées partielles

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[Kholle] Dérivées partielles
Posté par 
infophile  11-06-08 à 20:10
Bonjour 

Un exo que j'ai eu en khôlle (de mémoire) :

Citation :
Soit  une fonction  et  montrer l'équivalence :

Et comme application : Trouver toutes les fonctions  qui vérifient 

Cette relation nous vient de notre maître à tous (non non c'est pas ehlor )

 Posté par 
fusionfroidere : [Kholle] Dérivées partielles  11-06-08 à 21:30
Salut kévin !

Il t'a donné un indice tout de même ?

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Je dérive la fonction f(g(t)) par rapport à t où g(t)=(tx_1,...,tx_n)

J'obtiens : 

Ensuite, il faut dériver en t la fonction t^{-k}f(tx)

On obtiens un truc assez sympa, et en multipliant par t^{k+1}, on voit que pour obtenir ton identité il faut que la fonction t->t^{-k}f(tx) sur R+*

Or, en 1, elle vaut f(x) d'où le résultat.

C'est le cas général, donc qui peut le plus peut le moins ^^

Bon j'ai réussi car je l'ai déjà fait y'a pas mal de temps, et j'ai galéré pour retrouver l'astuce ^^
 Posté par 
fusionfroidere : [Kholle] Dérivées partielles  11-06-08 à 21:30
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j'ai oublié un mot : il faut que la fonction soit constante sur R+*
 Posté par 
infophilere : [Kholle] Dérivées partielles  11-06-08 à 21:58
Salut FF 

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Non j'avais pas le droit à un indice c'est ma prof qui me collait 
 Posté par 
fusionfroidere : [Kholle] Dérivées partielles  11-06-08 à 22:05
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Et tu avais réussi ?
 Posté par 
infophilere : [Kholle] Dérivées partielles  12-06-08 à 06:47
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Le sens droite-gauche oui en utilisant la dérivée d'une composée, pour l'autre sens j'ai pas su tout de suite me ramener à une équa diff, mais après ça allait.
 Posté par 
fusionfroidere : [Kholle] Dérivées partielles  14-06-08 à 17:20
Salut kévin

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Si tu as le temps, quand tu clotureras, pourras-tu mettre ta démo pour le sens gauche-droite ?

Merci ^^
 Posté par 
Arkhnorre : [Kholle] Dérivées partielles  14-06-08 à 19:47
Bonjour.

Voici ma solution :

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Dans le sens "gauche-droite":

Soit t>0. Je définis 

D'après l'équation vérifiée par f, j'ai 

Je calcule d'autre part : 

Je reconnais dans l'expression de g vu plus haut, sa dérivee.

Ainsi, g vérifie l'équa diff : , avec 

Après résolution, j'obtiens .

Dans le sens "droite-gauche":

Avec le même g que précédemment, on sait que 

Je calcule la dérivée de g, a partir des deux expressions, et j'obtiens :

Or, par hypothèse, .

Donc, , .

Pour , on obtiens l'équation souhaitée.

 Posté par 
infophilere : [Kholle] Dérivées partielles  14-06-08 à 19:50
C'est ça 
 Posté par 
Arkhnorre : [Kholle] Dérivées partielles  14-06-08 à 20:02
Cool 

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Par contre, pour l'application, je sèche un peu (j'y ai pas beaucoup réfléchi non plus)

Je trouve une solution particulière , mais je vois pas comment déterminer toutes les solutions.

 Posté par 
infophilere : [Kholle] Dérivées partielles  14-06-08 à 20:15
Arkhnor >

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Le mot clé tu l'as dit : solution particulière 

Tu la reportes dans l'équation ensuite.
 Posté par 
Arkhnorre : [Kholle] Dérivées partielles  14-06-08 à 20:32
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Je viens de remarquer que que l'on peut rajouter une constante additive, mais à part ca, je vois pas  

Sinon, c'est qui notre maître à tous ? Cauchy ? 
 Posté par 
infophilere : [Kholle] Dérivées partielles  14-06-08 à 20:35
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Appelle g ta fonction particulière, et remplace là dans le terme de droite, ensuite tu mets tout à gauche et tu vas faire apparaître des dérivées partielles de f-g.

C'est Euler notre maître à tous (d'après Laplace) 
  Posté par 
Arkhnorre : [Kholle] Dérivées partielles  15-06-08 à 19:19
Kévin >

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J'ai besoin d'un petit indice, je sèche lamentablement sur l'équation homogène associée