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* [Khôlle n°2] Equations différentielles *

Posté par
infophile 02-10-07 à 18:15

Bonjour

Cette semaine j'ai tiré une feuille d'exos classiques

Citation :
Résoudre les équations différentielles suivantes :

3$ \rm y'+2y=x^2  

3$ \rm y'+y\tan(x)=\sin(2x) sur 3$ \rm \]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\]

3$ \rm y''-2y'+y=2ch(x)

3$ \rm (1+x^2)y''+2xy'=0


Pas grand intérêt mais je poste quand même pour ceux qui verront ce chapitre plus tard

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 18:17

Pour la seconde c'est sur 3$ \rm \]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ bien sûr

Posté par
borneore : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 18:19

Hello  

On avait rectifié, bien sûr  

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 18:22



Coucou borneo, ça va ?

Posté par
gui_toure : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 19:30

Bonjour à tous

Première khôlle de maths, premier drame

Citation :
Question de cours : Fonction Arcsin, définition et propriétés.

-> J'ai surement oublié une ou deux propriétés, du genre cos(Arcsin x)...

Exercice : z -> (-2+2i)z-2-i Caractéristiques de z ?

-> Honte à moi, j'ai hésité au calcul du rapport parce que je croyais à un piège, c'est ce qu'on fait en terminale. Mais j'ai vite fait de comprendre.


Au final, un timide 13

Kévin >> Les équas-diffs, c'est pour l'instant mon chapitre favori


Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 19:32

Ce qui est chiant avec les équa diff c'est qu'il faut apprendre (du moins la méthode ^^)

Ca va encore 13 pour une première khôlle (pense à ma khôlle d'anglais )

Posté par
moominre : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 19:35

>> note = seven

Salut à tous

Posté par
gui_toure : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 19:36

Tu fais la différence sur les maths et la physique, 7 en anglais c'est rien (enfin quand même... ).

Posté par
simon92re : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 19:38

je comprend pas le but de ton deuxième exo gui_tou

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 19:42

simon > Tu dois déterminer quelle genre de transformation c'est

Salut Alex

Désolé pas le temps de me connecter et ma boite mail déconne

guitou > Le DS de physique tu as eu la note ?

Posté par
simon92re : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 19:45

et ca peut-être plusieur transformation d'un coup, je vois bien une rotation d'angle 3pi/2, puis un agrandissement du module de 2rac(2) puis une translation de vecteur -2u-v

Posté par
gui_toure : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 19:47

En fait, Simon, quand on te demande les caractéristiques d'une transformation du plan complexe, tu dois, à partir de z'=(-2+2i)z -2-i

Rechercher un point invariant 4$\Omega d'affixe 4$\omega
Là tu résous
4$\omega=(-2+2i)\omega-2-i

Bref j'ai trouvé 4$\fbox{\Omega(\frac{-4-7i}{13})

Ensuite, on cherche le rapport de cette transformation :
Ici c'est 4$\|-2+2i\|=2\sqrt2

L'angle 4$\Big(\,\vec{\Omega M}\,,\,\vec{\Omega M'}\,\Big)\,=\,\frac{3\pi}{4} sans oublier de préciser que M(z) et M(z')

----

Conclusion : z est une similitude directe de centre 4$\Omega de rapport sqrt2 et d'angle 4$\frac{3\pi}{4}

Posté par
gui_toure : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 19:49

Arf mince de rapport 2sqrt2

Kévin >> Non, la note catastrophique de physique pas encore, mais j'ai reçu celle d'une petite interro de cours de chimie. Les notes ne s'envolent pas... et moi j'ai eu de la chance : 15


Posté par
simon92re : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:06

our mon argument je voulais bien sur dire 3pi/4,
mais y a pas une translation avec  le -2-i?

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:14

guitou > C'est pas de la chance, bravo

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Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:17

Je mets mes réponses à cette khôlle pour ceux que ça intéresse (modulo les erreurs de saisies )

1) L'ensemble des solutions de l'équation homogène est :

3$ \rm S_H=\{\varphi_{k}: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, k\in \mathbb{R}\\x\to ke^{-2x}\}

Le second membre est un polynôme de degré 2, on cherche donc une solution particulière de la forme :

3$ \rm P(x)=ax^2+bx+c ainsi 3$ \rm P'(x)=2ax+b

En réinjectant dans l'équation il vient 3$ \rm 2ax^2+(2a+2b)x+(b+2c)=x^2 d'où par identification :

3$ \rm P(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}

Ainsi l'ensemble des solutions de l'équation différentielle est :

3$ \rm \fbox{S_1=\{\varphi_{k}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, k\in \mathbb{R}\\x\to ke^{-2x}+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\}}

2) L'équation homogène est 3$ \rm y'=-\tan(x)y

Or 3$ \rm -\tan(x)=-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{(\cos(x))'}{\cos(x)}

Ainsi 3$ \rm x\to \ln(\cos(x)) est une primitive de 3$ \rm x\to -\tan(x)

L'ensemble des solutions de l'équation homogène est donc :

3$ \rm \{\begin{array}{c}\varphi_k: ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\to \mathbb{R}, k\in \mathbb{R}\\x\to k\cos(x)\end{array}\}

En utilisant la méthode de variation de la constante avec 3$ \rm y(x)=\varphi(x)w(x) on tire :

3$ \rm w'(x)=\frac{\sin(2x)}{\cos(x)}=2\sin(x) d'où 3$ \rm w(x)=-2\cos(x)+K avec K constante.

L'ensemble des solutions de l'équation différentielle est donc :

3$ \rm \fbox{S_2=\{\varphi_k: ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\to \mathbb{R}, k\in \mathbb{R}\\x\to k\cos(x)-2\cos(x)+K\}}

3) L'équation caractéristique étant 3$ \rm r^2-2r+1=0 (E) il vient que l'ensemble des solutions de l'équation homogène est :

3$ \rm \{\begin{array}{c}\varphi_k: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, (\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^2\\x\to (\lambda+\mu x)e^{x}\end{array}\}

Puis sachant que 3$ \rm 2ch(x)=e^{x}+e^{-x} on considère les deux équations suivantes :

3$ \rm \{y''-2y'+y=e^{x} (L_1)\\y''-2y'+y=e^{-x} (L_2)

On détermine une solution particulière de 3$ \rm (L_1) et 3$ \rm (L_2).

Le coefficient dans l'exponentielle de la première équation étant racine de 3$ \rm (E) on cherche une solution sous la forme 3$ \rm P_1(x)=a_1x^2e^{x}

On a 3$ \rm P_1'(x)=a_1e^{x}(x^2+2x) et 3$ \rm P_1''(x)=a_1e^{x}(x^2+4x+2)

En réinjectant dans 3$ \rm (L_1) et en identifiant on trouve 3$ \rm a_1=\frac{1}{2}

Pour la seconde équation -1  n'est pas racine de 3$ \rm (E) donc on cherche une solution sous la forme 3$ \rm P_2(x)=a_2e^{-x}

On a 3$ \rm P_2'(x)=-a_2e^{-x} et 3$ \rm P_2''(x)=a_2e^{-x}

En réinjectant on trouve 3$ \rm a_2=\frac{1}{4}

Finalement en appliquant le principe de superposition des solutions, on en conclut que l'ensemble des solutions de l'équations différentielle est :

3$ \rm \fbox{S_3=\{\begin{array}{c}\varphi_k: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, (\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^2\\x\to (\lambda+\mu x)e^{x}+\frac{1}{2}(x^2+4x+2)e^{x}+\frac{1}{4}e^{-x}\end{array}\}}

L'équation différentielle s'écrit sous forme résolue : 3$ \rm y''=-\frac{2x}{1+x^2}y' car 3$ \rm \forall x\in \mathbb{R}, 1+x^2>0

On effectue le changement de variable z=y', ce qui permet de se ramener à une équation linéaire du premier ordre :

3$ \rm z'=-\frac{2x}{1+x^2}z

L'ensemble des solutions de cette équation est :

3$ \rm S_H=\{\begin{array}{c}\varphi_k: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, k\in \mathbb{R}\\x\to k.\frac{1}{1+x^2}\end{array}\}

On en déduit l'ensemble des solutions de l'équation d'origine :

3$ \rm \fbox{S_H=\{\begin{array}{c}\varphi_k: \mathbb{R}\to \mathbb{R}, (k,K)\in \mathbb{R}^2\\x\to k.\arctan(x)+K\end{array}\}}

Posté par
gui_toure : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:30

:claplclap: Kévin On est fiers de toi. C'est amplement mérité, mais d'où il vient ce demi-point en moi ? Tu as oublié d'encadrer un résultat ? Tu n'as pas mis la date ?

Et la dernière équa diff, je peux ?

Posté par
gui_toure : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:31

Ah mince j'avais pas vu que tu l'avais traitée, dommage

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:33

Non en fait la note n'est pas vraiment représentative, personne n'a réussi à terminer le devoir dans sa longueur, ça sert juste à établir le classement

J'ai fait les quatre équa diff

Posté par
gui_toure : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:36

T'es le meilleur (Martin on va dire que ça compte pas, il est dans son monde).

J'ai un DM de maths pour lundi en 8 sur les équas diffs, je les posterai en défi pour toi

Des nouvelles de la semeuse ?

Posté par
Marie-Cre : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:37

salut
kévin: t'es en MPSI ?
(t'aurais pas des exos d'entraînement pour préparer à un DS)?

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:42

Non il est meilleur que moi et c'est tant mieux Et puis je suis super content de ma place pour ce premier DS

Moi aussi j'ai un DM sur les équa diff (mais faut déjà que je finisse celui d'optique )

Oui je l'ai croisé aujourd'hui

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:42

Salut Marie

Oui en MPSI, et toi ?

Quel chapitre le DS ?

Posté par
Marie-Cre : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:47

Je suis en PCSI

pas beaucoup: nombres complexes, éléments d'analyse(injectivité...), bidouillages du début avec les sommes, la logique.

Posté par
simon92re : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:51

c'est qui martin?

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:53

Pour les sommes tu peux regarder ma première Khôlle c'est un cas classique

Injection/surjection on n'a pas encore vu en classe mais je te conseille le site mpsiddl.bidule...etc (tape dans google ) il y a pas mal d'exos.

Et les nombres complexes il y a eu pas mal d'exos intéressants sur l' ces dernières temps, va dans la partie Sup et dans le chapitre complexe.

Je quitte le PC bonne soirée tout le monde

Posté par
Marie-Cre : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:54

bonne soirée!

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:54

simon > C'est la tête de ma classe, pour te faire une idée il a eu 19,28 de moyenne au bac

Posté par
simon92re : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:54

pas trop mal...

Posté par
simon92re : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:55

jecr oyais que c'était un mec de l'ile...

Posté par
Epicurienre : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:56

Kévin! Pour ton latex ^^ et Ton DS!!!!!!! 19.5 en Sup

Guillaume>>Felicitations pour ton 15 en chimie ( Ah?! 15 ça me dit quelquechose ^^ ) et bravo pour ta khôlle, tu as "sauvé" les meubles.


Kuider.

Posté par
gui_toure : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 20:59

Salut Kuid et merci Non je vous ai menti pour la chimie... c'est 15,5 ^^

Bonne soirée Kévin A jeudi

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 21:00

Merci Kuid

Mais comme je disais, la note ne reflète pas la performance du devoir (heureusement ), juste la position dans la classe.

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 21:00

guitou > Pourquoi jeudi ?

Posté par
Epicurienre : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 21:01

Bien classé le Kévin

Kuider.

Posté par
Epicurienre : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 21:01

demain, nous sommes mercredi

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 21:03

Bon à demain guitou

Bonne soirée mathîliens !

Posté par
Epicurienre : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 21:03

Bonne soirée, je retourne à mes maths et ma philo ( je mélange pour pas faire une indigestion de maths la veille du DS..)

Kuider.

Posté par
gui_toure : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 02-10-07 à 21:04

Demain je ne suis pas là. Je passe le code

A moins que tu restes l'après-midi ^^

Je rate 4 heures de maths, donc après-midi photocopiage

Kévin tu es 2ème alors ?

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 03-10-07 à 06:36

Bonne chance

Non après-midi de libre (enfin à moitié je vais faire le dm d'optique )

Oui

Je file bonne journée

Posté par
borneore : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 03-10-07 à 12:31

Bravo  

Posté par
simon92re : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 03-10-07 à 13:38

mais t'as eu combien a cette kholle kevin?

Posté par
infophilere : * [Khôlle n°2] Equations différentielles * 03-10-07 à 13:55

Merci borneo

simon > 16

Allez p'tit DM d'optique


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