bonjour
par multiplication, on peut avoir un nombre impair possédant autant de diviseurs que l'on veut; le double de ce nombre sera la mesure d'un segment
le nombre impair en question sera le produit d'autant de multiplications différentes que l'on veut; à chaque multiplication sera associée deux autres nombres entiers, dont la somme sera le plus grand facteur et la différence le plus petit facteur
on porte sur la médiatrice du segment, à partir de son pied, des longueurs correspondant au plus petit de chaque paire de ses nouveaux nombres; le point obtenu, joint aux extrémités des segments figurera une hypoténuse mesurant le plus grand nombre de la paire

outre Q et R, je propose un autre ensemble que je trouve intéressant :
on identifie chaque nombre avec le point de l'axe horizontal ayant pour abscisse ce nombre
l'ensemble B de nombres-points est une base de construction ayant les propriétés suivantes :
à partir de B, on peut construire tous les nombres de R avec la règle et le compas
tout élément de B ne peut être construit à partir des autres avec la règle et le compas
proposition
un tel B est indénombrable
on ne peut pas non plus élaborer une bijection entre B et R; suggestion : R peut être parti en sous-ensembles disjoints correspondant chacun à une partie de B, non compris les singletons; chaque sous-ensemble est constitué des nombres qu'on peut construire à partir de cette partie de B mais pas à partir d'aucune sous-partie de celle-ci