Pour l'exercice, je pense qu'il faut supposer le groupe fini...

(Pense aux morphismes de groupes additifs qui à la suite associent respectivement et )

bonjour, dsl de vous déranger dans vos maths compliquées, mais je cherche de l'aide pour le forum collège dans la partie vecteur car je ne sais pas si mes résultats sont bons

@Ayoub:

Ou tout simplement aux morphismes qui à x associent respectivement 2x et 4x !

Mais le premier contrexemple est plus intéressant car il est valable quand f est un endomorphisme d'ev en dimension infinie.

blang >> Oui oui bien sûr, autant pour moi. G est obligatoirement fini.
Sinon le résultat tombe en défaut (tiens, mon contre exemple c'est ce que tu as proposé dans ton post n°2).

titia022 >> Il n'est pas autorisé de venir sur le topic des autres pour poster tes demandes d'aides. Tâche de ne plus le faire, stp.

Nan mais ça c'est trop marrant, je sors à peine de khôlle j'ai eu le même exo que toi encore

Salut vieux,

Lequel? Le 1) ou le 2)?
Si ça se trouve, nos profs se passent les exos.

Le 2) !

J'ai eu aussi d'autres trucs sur les ev si ça t'intéresse

Vas-y, balance!

A Kévin uniquement >>

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Simple curiosité: il t'a fait démontré le "théorème du rang" sur les groupes ou bien tu l'as fait en "mode bourrin"?

Ah non j'ai mal lu moi c'était un endomorphisme d'ev

C'est peut-être pour ça que j'ai trouvé ça simple ^^ !

Je te poste ça quand j'ai fini de manger

Ayoub >

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Exactement !

Bon j'ai plus le papier mais de tête c'était ça :

Citation :
Soit un endomorphisme sur un espace vectoriel .

1) Montrer les équivalences suivantes : et

2) Montrer que si l'on est en dimension finie .

3) Donner des contre exemples en dimension infinie.

Autant s'entraîner pour mon DS de demain. (algèbre et DL: berk, quel mélange incongru. ).

Kévin >>

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1)
E= Ker f + Im f ==> Im f² = Im f.
Soit y=f(x) dans Im f. On a x=k+i où k€ ker f et i€Im f.
Alors y=f(k+i)=f(i)€ Im f².
L'autre inclusion est triviale.

Im f² = Im f ==> E = ker f + Im f.
Soit x dans E.
On a f(x)€ Im f (si si, je t'assure ). D'où f(x)=f(f(a)) et ainsi x-f(a)€ ker f.
That's it!


Ker f inter Im f = {0} ==> Ker f = Ker f².
Soit x dans Ker f².
On a f(f(x))=0. Ainsi f(x) est dans Ker f et dans Im f à la fois.
Donc f(x)=0 et x est dans Ker f.
L'autre inclusion est triviale.

Ker f = Ker f² ==> Ker f inter Im f = {0}.
Soit x dans l'intersection.
On a donc f(x)=0 et x=f(y) pour un certain y de E.
Alors f(f(y))=0.
Donc y est dans Ker f² et donc dans Ker f.
Par suite, x=f(y)=0.
L'autre inclusion est triviale.



2) Suffit d'écrire le théorème du rang:
rg(f) + dim(Ker f) = rg(f²) + dim(Ker f²).



3) Dans R^R, on prend f(x)=2x.

Voici deux autres exos hors-khôlles. (Il aurait aime me les poser hier mais il a pu faute de temps):


1) Que peut-on dire d'un groupe qui possède un nombre fini de sous-groupe?

2) Que peut-on dire d'un groupe dont tous les sous groupes strictes sont finis?


Ayoub.