Bonjour,
On aime bien tes idées.

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ici le résultat est surprenant....

Pour la figure en estimant le rapport L/l des petits rectangles  jaunes
à 1.9:

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aire du rectangle rouge: 3.15

Bonjour,

une construction pas propre du tout car synthétisée après les calculs algébriques (= à partir du résultat)

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La forme de ABCD est imposée par l'alignement de BM et de MP, il en résulte

et donc
et l'aire de BCMN = 3 aire(ABCD)


on part d'un cercle unité de diamètre IJ,
(IE) à 30° coupe l'axe vertical en F
le cercle de diamètre FK coupe l'axe horizontal en B, AB est le petit coté du rectangle de base ABCD d'aire 1 cherché
son grand côté est obtenu par BAC = 60°
on complète la figure par DM = DB

Bonjour,

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J'ai donné la courbe pour tous les triangles jaune d'aire 1
La figure est donc un cas particulier (diagonale).

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Avec un rapport de 3 et non de 1.9 comme je l'avais jugé à l'oeil
On trouve une aire égale  à   3
qui trouver la formule  généralisée proche de  L/l +2 ?

La généralisation des aires trouvées en disposant des rectangles
d'aire 1 comme sur la figure de Imod (hors diagonale) donne le graphe  suivant.
En appelant K le rapport  longueur /largeur il est curieux de constater  la proximité des deux courbes.
1/aire calculée
2/K+racine 2 .
Je cherche toujours la vraie formule ....

Salut à tous.

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L'aire du rectangle rouge est 3.
On le voit en remarquant que le triangle jaune sous la diagonale est égal au triangle blanc au dessus de la diagonale.

Bonjour à tous et merci pour la participation

En effet la réponse est 3 et la justification d'une simplicité déconcertante . Je m'étais amusé à faire la figure avant de calculer l'aire  ( il faut voir pourquoi le triangle CPB de Mathafou est équilatéral après c'est facile ) .

Il faut aussi expliquer simplement pourquoi 3 , Verdurin est sur la piste mais la justification un peu succincte .

Imod

comme je le disais j'ai fait ça "bourrin" par le calcul.
j'en ai déduit (de ce calcul) un magnifique qui implique pas mal de triangles équilatéraux ou moitiés de triangles équilatéraux.
Ensuite ma figure est essentiellement la construction géométrique de pour avoir l'aire = 1 et pas juste un rapport d'aires de 3...

Par hypothèse les triangles (ABF) et (CEF) sont rectangles respectivement en B et E et AB=CE.
Ils sont donc isométriques et ont la même aire.
L'aire du quadrilatère (AECD) est donc égale à celle du rectangle (ABCD) soit 1.
L'aire du triangle (CEG) est évidement  1/2.
L'aire du triangle (AGD) est donc 3/2 et celle du rectangle rouge est 3.

C'est ça Verdurin

@Mathafou : on peut faire la construction sans avoir remarqué que le rapport d'aires est 3 .

Imod

oui
mais encore une fois ma construction est pour avoir l'aire égale 1
et pas seulement une figure à une échelle inconnue et juste un rapport d'aires

une justification directe des angles de 60° =180/3 :
par les triangles ACD, ACE, GCE "immédiatement" isométriques



d'où "la construction" .... d'une figure avec une aire arbitraire et aucune raison qu'elle soit égale à 1

Salut mathafou.
La question de départ ne demande pas une construction.
En particulier il n'est rien précisé sur l'unité de longueur ni, par conséquent, sur  celle d'aire.
J'ai donc le droit de prendre le rectangle ABCD comme unité d'aire.
Bien sur on peut démontrer que
Mais si on ne donne pas un segment de longueur 1 comme point de départ, toutes les figures ont une aire arbitraire.

C'est vrai qu'il y a deux interprétations pour la construction  . Pour moi il  s'agissait d'illustrer l'exercice donc l'unité d'aire n'avait pas d'importance mais je ne l'ai pas dit .

Imod

Bonjour

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Les trois triangles AEF , CEF et ADF ont la même aire .

Leur somme donne l'aire du triangle ACD.

On conclut que l'aire du rectangle rouge ABCD est _{sauf erreur bien entendu}

Jolie simplicité elhor_abdelali

Mais pourquoi avoir tracé le segment BD ?

En effet c'est une jolie démonstration d'ailleurs déjà présente sur les dessins de Mathafou .

Imod

Un petit prolongement combinatoire .

Le rectangle rouge est pavable avec 6 moitiés identiques de triangles équilatéraux . De combien de façon ( aux symétries près ) ?

Imod

Les 6 possibilités que j'ai trouvées :



Imod

J'en vois une 7ème :
Dans les deux rectangles de droite de la seconde ligne, le triangle équilatéral qui y apparaît à gauche peut être coupé en deux d'une troisième manière.

En effet :



Bien vu

Imod

Et un huitième dans l'élan :



Imod

Et si on enlève le segment vertical dans le triangle équilatéral de droite, pour le remplacer par un penché parallèlement à celui du triangle équilatéral de gauche ?

Ah oui :



Il y en a certainement une dixième qui traîne .

Imod

Un résumé sur une seule image des solutions obtenues :



Imod

Je pense en avoir trouvé une dixième :



Imod

Là, je crois qu'on a fait le tour