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l'angle aigu de l'améthyste

Posté par amethyste 17-02-18 à 07:43

cette pierre préserve de l'ivresse malgré ses angles aigus

Soit $ABC$ un triangle
posons $a=BC$ , $b=AC$ , $c=AB$
$\alpha$ l'angle issu de $A$ du triangle $ABC$
$\beta$ l'angle issu de $B$ du triangle $ABC$
$\gamma$ l'angle issu de $C$ du triangle $ABC$
$R$ le rayon du cercle circonscrit du triangle

alors en considérant le repère barycentrique $ABC$ définit selon
$A=(1:0:0)$
$B=(0:1:0)$
$C=(0:0:1)$
et en posant le point $D$ dont les coordonnées barycentriques normalisées par rapport à ce  repère barycentrique sont
$D=\left(  \frac {2.R.cos(\alpha)}{a.b}-\frac {2.R}{a.c}  :  \frac {1}{c.sin(\alpha)}  :  1-\frac {1}{b.tan(\alpha)}  \right)$

alors on obtient les trois propriétés suivante

CD=1

les droites $(AC)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires

enfin si $\gamma \neq 90$ ° alors  l'angle issu de $C$ du triangle $BCD$ est aigu
sinon $B,C,D$ sont alignés
selon $\overrightarrow {CB}$ et   $\overrightarrow {CD}$ ont même sens (et direction)

Posté par re : l'angle aigu de l'améthyste 19-02-18 à 07:38

...et si en plus du point $D$ on pose le point

$E=\left( \frac {1}{b.sin(\alpha)}- \frac {1}{c.tan(\alpha)}: \frac {1}{c.tan(\alpha)}: 1-\frac {1}{b.sin(\alpha)}\right)$

alors d'une part on obtient l'équivalence

$\left( A,B,C$ sont affinement independants $) \Leftrightarrow \left( C,D,E$ sont affinement independants $)$

et d'autre part $CD=CE=1$