Annuler
connectez vous
en post-bac
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Reprise d'études [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Reprise d'études
L'anneau Z/nZ
Posté par Milka3
Bonjour,
pour définir l'anneau en question, j'ai vu qu'il fallait successivement définir :
Une relation d'équivalence .
Une classe d'équivalence .
L'ensemble quotient (après D.E.)
On définit deux lois de compositions internes qui permettent de munir cet ensemble d'une structure d'anneau.
C'est un anneau commutatif à n éléments.
Ma question concerne les valeurs de n=0 et n=1.
L'anneau est-il commutatif pour tout ? Ou uniquement pour
?
Qu'est-ce que ? Et
?
Bonjour,
Peux-tu expliciter ce qu'est la relation d'équivalence dans le cas n=0 ? dans le cas n=1 ?
Ça te permettra de répondre à ta question.
Et oui, est un anneau commutatif, même pour n=0 et pour n=1.
Sinon, à l'intuition, tu peux comprendre G/H comme une copie du groupe G où on identifie tous les éléments de H à 0.
Ici Z/0Z = Z/{0}. On identifie 0 à 0, i.e on ne fait rien. Ce truc là est une simple copie de Z.
Z/1Z = Z/Z. On identifie tous les entiers à 0. Ce truc là est {0}.
Bonjour
pour n = 0 ta relation d'équivalence ressemble furieusement à l'égalité ordinaire. Chaque entier n'est en relation qu'avec lui-même, il y a autant de classes que d'entiers : c'est pareil que
, d'une certaine manière.
pour n = 1au contraire, chaque entier est en relation avec tous les autres : il n'y a plus qu'une classe d'équivalence, se résume au singleton
Bonsoir à tous !
J'essaye d'expliciter cette relation d'équivalence en écrivant :
Pour n=0 :
Puis j'écris que mais je ne suis pas certain de la dernière égalité.
Par la suite, je peux écrire . Je crois que c'est bon !
---
Pour n=1 :
Puis j'écris que .
Et là, je bloque sur l'égalité ensembliste pour retrouver ce que vous suggérez -_-
Ok !
En fait, j'arrive à me convaincre pour le cas n=0 puisque :
En revanche, le cas n=1 est mon évident je trouve car :
Et je ne vois pas pour quelle raison ?
En fait, je commence à me perdre quand je pense aux ensembles.
J'écris :
Je cherche donc les de sorte que
. Sachant
, c'est donc que
?
Non, la tu es complètement à l'ouest.
Fais un "Control-Reset" et repars sur de bonnes bases.
Tu veux montrer que dans le cas , on a
pour tout
, autrement dit
.