Salut,
un moyen simple est d'écrire a +b = (5a+4b)-(4a+3b)
donc un diviseur de (5a+4b) et (4a+3b) divise aussi (5a+4b)-(4a+3b) et donc a+b
et donc le PGCD (4a+3b,5a+4b) divise a+b
et on recommence :
a = (5a+4b) - 4(a+b)
le PGCD (4a+3b,5a+4b) qui divise 5a+4b mais aussi a+b divise donc a
fais pareil pour b, montre que PGCD (4a+3b,5a+4b) divise aussi b et essaye de conclure.

Merci Glapion
la chose qu'on a pas encore fait en classe c'est ce que vous avez utilisé maintenant
si d/a et d/b alors d/a+b n'est-ce pas ?

Mais c'est juste une implication ?

bonjour...

à ton avis ?

faut peut-être aussi dépasser un peu "ce qu'on a fait en classe" ...

qu'est ce qui te pose problème dans cette implication ?

et attention aux symboles !

"/" est un symbole de fraction

la relation "divise" peut éventuellement s'écrire avec le symbole "|"

sinon en écrivant "divise" c'est bien aussi, on y gagne en clareté et en compréhension !

Mais s'il vous plait je comprends pas une chose, voud voulez dire que si le PGCD (4a+3b,5a+4b)  divise  a et divise b alors PGCD(4a+3b,5a+4b)=PGCD(a,b)
mais si par exemple on a PGCD(5,10) =5 et 5/15 et 5/30 mais cela ne veut pas dire que PGCD(5,10)=PGCD(15,30) ? S'il vous plait pouvez-vous m'expliquer je comprends pas .

Merci  Mr.Matheuxmatou vous avez raison

Mais s'il vous plait je comprends pas une chose, voud voulez dire que si le PGCD (4a+3b,5a+4b)  divise  a et divise b alors PGCD(4a+3b,5a+4b)=PGCD(a,b)
mais si par exemple on a PGCD(5,10) =5 et 5|15 et 5|30 mais cela ne veut pas dire que PGCD(5,10)=PGCD(15,30) ? S'il vous plait pouvez-vous m'expliquer ?je comprends pas .

il faudra que tu apprennes mieux tes définitions !

dire que D est le pgcg de A  et B signifie que

D divise A, D divise B et tout diviseur de A et B divise D

tu trouves que tout diviseur de 15 et 30 divise 5 toi ?

bref ...

méthode pour montrer que deux pgcd sont égaux :

d=pgcd(a;b)
d'=pgcd(a';b')

1 : montrer que d divise a' et b' (donc d divise d')
2 : montrer que d' divise a et b (donc d' divise d)

conclure : donc d=d'

Ah oui je le sais mais j'ai mis cet exemple pour dire que je n'ai pas compris ce que Glapion a écrit .

Merci beaucoup

donc revenons à ton problème :

d=pgcd(a;b)

d'=pgcd(4a+3b;5a+4b)

déjà montre que d divise d' ... ça c'est facile !

Oui j'ai compris merci beaucoup matheuxmatou et Glapion.

Glapion (bonjour) j'avais pris le relais car je te croyais parti

Saida20

pas de quoi

pour revenir à :

salut

sinon une methode toute bete   pgcd(u,v)= pgcd(u-v,v)   il suffit de l'appliquer successivement :

pgcd(5a+4b,4a+3b) = pgcd(4a+3b,a+b) = pgcd(3a+2b,a+b) = pgcd(2a+b,a+b)=pgcd(a,a+b)=pgcd(a,b)  et voila

ou encor une autre méthode :   d divise 4a +3b   et  d divise 5a +4b  alors
4a+3b = k.d
5a+4b=k'.d

on multiplie la premiere équation par  5 et la seconde par 4 il vient  
20a +15b = 5.k.d
20a + 16b = 4.k'.d

puis par difference membre à membre il vient  :
b = d.( 5k-4k')   donc d divise 5.

on multiplie la premiere équation par  4 et la seconde par 3 il vient  
16a +12b = 4.k.d
15a + 12b = 3.k'.d

par difference  a = d(4k-3k')   et donc d divise a et voila tout  

,

c'est connu !   ceux qui t'on répondu le savent aussi

et si ce n'est pas connu cela se démontre avec ce que j'ai évoqué plus haut ! on en revient toujours à la même chose... les définitions et le raisonnement, ce qui évite de se farcir les méninges avec tout un tas de formules ... qu'on retiendra finalement après les avoir démontrées moult fois.

Bonjour,

On peut aussi utiliser la relation en entiers:

  

avec un petit raisonnement à la clé.

de toute façon la propriété clé est la propriété fondamentale de l'arithmétique :

P : si d divise a et b alors d divise toute combinaison linéaire de a et b

il est immédiat de passer du couple (a, b) au couple (4a + 3b, 5a + 4b)

tout le problème et le retour ... donc trouver la combinaison linéaire de 4a + 3b et 5a + 4b qui donne a et qui donne b ... mais ce n'est guère compliqué

et pour celui qui a vu les matrices alors on sait que c'est possible puisque la matrice

4  3
5  4

est inversible dans Z (puisque son déterminant est 1)

      Soient a et b en Z*
on pose     d=PGCD(4a+3b,5a+4b)
et                  d'=PGCD(a,b)
  on a : a+b=(5a+4b)-(4a+3b)

1)
on a :  d|5a+4b   et    d'|4a+3b   implique :  d|(5a+4b)-(4a+3b)
                                                                   implique :  d|a+b
et on a:   a=(5a+4b)-4(a+b)
et :             b=5(a+b)-(5a+4b)  

alors :d|5a+4b  et   d|-4(a+b)       implique :        d|a
et         d|5(a+b)  et    d|-(5a+4b)   implique:         d|b
alors    d|d'

2)
et on a:   d'|a   et d'|b      alors    d'|a+b   donc:    d'|d|(5a+4b)-(4a+3b)
et ona :   5a+4b=a+4(a+b)
et:             4a+3b=4(a+b)-b
alors:    d'|a       et        d'|4(a+b)     donc :    d'|(5a+4b)
et            d'|-b    et         d'|4(a+b)     donc :    d'|(4a+3b)
    d'où   :         d'|d

alors  :     d'=d    donc   :                        PGCD(4a+3b)=PGCD(a,b)

Merci  infiniment..

combien vaut 3(5a + 4b) - 4(4a + 3b) ?
combien vaut 4(5a + 4b) - 5(4a + 3b) ?

(ou leur opposé)

3(5a + 4b) - 4(4a + 3b)  =-a
  4(5a + 4b) - 5(4a + 3b)  =b

vous voulez que je les utilise au lieu de cela :

écrire c = 5a + 4b et d = 4a + 3b ou écrire a = 4d - 3c et b = 4a - 5d n'est-ce pas la même chose ?

de rien

Oui c'est la meme chose.