Pierre est artilleur, mais il lui vient une drôle d'idée.
Il est sur un terrain horizontal et il voudrait tirer un obus de telle manière que la courbe trajectoire de l'obus soit la plus longue possible.
(Ne pas confondre avec la portée).
Pouvez-vous aider Pierre et lui donner l'angle d'inclinaison par rapport au sol (horizontal) qu'il doit donner à son canon pour satisfaire son désir.
Sachant que la vitesse initiale de l'obus (au sortir du canon) est de 200 m/s et en prenant g = 10 N/kg, quelle sera la longueur maximum de la courbe trajectoire de l'obus.
Les frottements de l'obus dans l'air seront négligés.
On considèrera que le tir a lieu au niveau du sol.
L'angle sera donné en degrés (dans [0 ; 90]), la réponse sera arrondie au 1/2 degré le plus proche.
La longueur sera donnée en mètres arrondie au mètre le plus proche.
ATTENTION :
2 réponses sont attendues (angle et longueur).
Bonne chance à tous.
Angle = 56,5° (au 1/2 degré le plus proche)
Longueur = 4799 m (au mètre le lus proche).
Bonne année à tous !!
bonjour
l'angle du canon est de 45 degrés par rapport au sol, donnant une courbe d'une longueur maximum de 4591 mètres (le boulet atterrira 4 kilomètres plus loin)
bonsoir J-P
J'ai trouvé l'équation suivante:
L = 4000 cos²-tgtg(y²+1)dy
J'ai résolu par programmation, je trouve alors:
Lmax= 4799m (4798.7arrondi au mètre le plus proche), pour une valeur de =56.5° (56.47arrondi au 0.5° le plus proche).
j'éspère que l'approximation donnée par mon programme ne me trompe pas, sinon
et merci pour l'énigme que je trouve interessante! .
Bonjour J-P
Pierre doit tirer avec un angle de 56°27'57" avec le sol, soit environ 56,5°.
La longueur de la trajectoire sera de 4798,71 m soit environ 4799 m.
(La portée sera alors de 3683,88 m).
Cordialement
Frenicle
sa m'etonnerai que la reponse soi ossi simple que sa mais je v quan meme essayer:
200/10 bien que nous ne connaissont pa le points de l'obus
ce qui ferai 20°
je dirai que le resultat doit tourner dans c'est eau la
Rebonjour,
je reviens juste pour détailler la méthode que j'ai utilisée pour donner ma réponse.
On montre assez facilement que l'équation de la trajectoire est donnée par :
On en tire la portée en résolvant l'équation f(x)=0 :
La longueur parcourue est donnée par :
Une petite tabulation de cette fonction (à la TI92 pour ma part) permet de trouver la valeur de l'angle !
Merci à J-P pour cette énigme.
Je n'ai rien trouvé de plus rusé que de calculer la longueur de la trajectoire du boulet en fonction de l'angle de tir puis de chercher le qui donne la longueur maximale.
Le calcul de la longueur se simplifie un peu en prenant comme variable, au lieu du temps, l'angle polaire du vecteur vitesse (on évite les radicaux). On trouve
, qu'on sait calculer.
On dérive la fonction de obtenue.
On cherche ensuite les zéros de la dérivée sur .
On tombe sur une équation en que je ne sais pas résoudre de façon exacte.
A l'aide de la calculatrice, je trouve degrés, à 1 degré près. Unique zéro de la dérivée, il donne nécessairement le maximum.
J'en déduis la longueur de la trajectoire à 1 mètre près: l=4799 m.
Au revoir!
Bonjour,
Pour un angle de 56 degrés, la trajectoire sera de 4798,4 mètres.
Sauf erreur
Merci pour l'énigme.
PS, la démonstration est facile, théorème de la mécanique plus intégrale d'une courbe curviligne et dérivation de la formule littérale. Les calculs sont fastidieux et j'ai un peu de flemme à écrire des pages de LATEX.
Je m'aperçois qu'il fallait donner la réponse au demi-degré le plus proche et je crois l'avoir donnée au degré près. Comme j'ai trouvé 56,4658 degré, je crois que la réponse attendue était 56,5.
Pendant que j'y suis: j'ai trouvé 4798,715 comme longueur maximale de la trajectoire. je pense donc que la réponse attendue était: 4799 mètres.
Avec toutes mes excuses.
Bonjour,
Ah, la cinématique!
Après avoir testé plusieurs inclinaisons possible, je trouve une trajectoire de longueur maximum
pour une inclinaison de 56,5°, la longueur étant 4799 mètres.
A+,
gloubi
Bonjour
Dans le repère du canon :
Avec vitesse initiale gravité
vecteur vitesse instantanée
module de cette vitesse instantanée
Abscisse de l'obus
L'obus touche terre pour , ce qui exclut évidemment
Soit le moment de l'atterrissage
La longueur de la trajectoire est donnée par la somme
on rappelle que
On en déduit une expression de la longueur de la trajectoire
L'expression dérivée en s'annule pour vérifiant l'expression
En posant , on peut rechercher la solution de
J'ai fini par une recherche de solution numérique (merci excel)
Bonjour,
juste en passant "l'énigme" est vraiment belle, c'est un magnifique problème.
Par contre, le calcul intégral de la longueur de la parabole apparait vraiment rebutant ! (en cartésienne ou polaire d'ailleurs... bonjour les changements de variables, je n'ai pas le courage)
Ensuite il faudrait trouver le maximum en fonction de l'angle... pfff je suis curieux de voir les détails (sans outil de calcul formel).
Merci Pierre pour ta drôle d'idée.
Enigme clôturée.
Pour ceux qui se sont trompés et ceux qui n'ont pas oser tenter l'aventure :
En choisissant un repère orthonormé avec l'origine à l'endroit du tir, l'axe des abscisses horizontal et l'axe des ordonnées vertical vers le haut, le plan xoy étant celui contenant la trajectoire de l'obus.
Avec l'origine des temps au moment du tir, on a:
x(t) = vo.cos(alpha).t
y(t) = vo.sin(alpha).t - gt²/2
avec Vo la vitesse initiale de l'obus et alpha l'angle entre le canon et l'horizontale.
En éliminant t entre ces 2 équations, on obtient l'équation de la trajectoire de l'obus, soit :
y = x.tg(alpha) - [g/(2.Vo².cos²(alpha))].x²
La résolution de x.tg(alpha) - [g/(2.Vo².cos²(alpha))].x² = 0 donne les 2 abscisses entre lesquelles il faut calculer la longueur de la trajectoire.
On a x1 = 0 et x2 = (vo²/g)*sin(2 alpha)
On peut alors calculer la longueur de la courbe trajectoire par :
On trouve:
Avec a = g/(2.vo².cos²(alpha)) et b = tg(alpha)
On peut évidemment; si on veut, triturer l'expression de L pour faire sauter les fonctions hyperboliques ou bien les conserver ...
On a alors par exemple:
Il suffit alors d'étudier la fonction L(alpha) pour trouver la valeur de alpha qui la rend maximum.
Soit on y va à la matheux, dérivée ..., soit on trace la courbe avec un tableur en prenant les précautions d'usage pour la précision, soit ...
Si on y va à la matheux, on tombe sur une équation (issue de L'(alpha) = 0) simple mais dont il est impossible de trouver la valeur solution de alpha de manière analytique. Et donc on y va soit graphiquement soit par approximations successives.
De toutes manières, on aboutit à une valeur max de L pour alpha = 0,982215... radian, soit 56,466...°, qui, arrondi au 1/2 degré le plus proche, donne alpha : 56,5°
En introduisant g = 10 N/m et vo = 200 m/s dans l'équation, on trouve alors L max : 4798,7... m et donc arrondi au m le plus proche: L max = 4799 m
je suis trop décu, parce que j'arrivait pas a trouver la fonction de l'obus, alors que je connais el théorème perméttant de calculer la longueur d'un arc...
j'ai pourtant chercher la fonction, mais j'ai pas réussi
Non J-P fallait pas cloturer
J'ai demandé à mon prof comment calculer des intégrales curvilignes, j'avais presque tout sur maple, et ce soir je voulais me lancer dans les applications numériques
Enfin bravo à tous
mais on peut pas avoir la courbe de l'obus? c'est a dire la courbe représentative de la trajectoire de l'obus...
bah, justement, c'est ce que je veux comme ca on calcule l'integrale de 1+[f'(x)]² de 0 a l'autre solution de l'équation f(x)=0e t voila au moins juste pour essayer
Bonjour
C'est la courbe verte.
La rouge donne celle de portée maximale (4000 m, tirée à 45°)
Cordialement
Frenicle
ha sorry gui_tou
Je vais chercher a determiner la longueur de la courbe en fonctino de alpha, mais dans ce cas, il faut faire une integration avec deux variable, non?
Bonsoir à tous
J'adore les problèmes de physique (mais lorsqu'elles sont à la porté de mes connaissance biensur ), enfin j'ai juste voulue dire que l'énigme est superbe.
merci bien J-P
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