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L'artilleur***

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
04-01-08 à 13:46

L\'artilleur

Pierre est artilleur, mais il lui vient une drôle d'idée.

Il est sur un terrain horizontal et il voudrait tirer un obus de telle manière que la courbe trajectoire de l'obus soit la plus longue possible.
(Ne pas confondre avec la portée).

Pouvez-vous aider Pierre et lui donner l'angle d'inclinaison par rapport au sol (horizontal) qu'il doit donner à son canon pour satisfaire son désir.

Sachant que la vitesse initiale de l'obus (au sortir du canon) est de 200 m/s et en prenant g = 10 N/kg, quelle sera la longueur maximum de la courbe trajectoire de l'obus.

Les frottements de l'obus dans l'air seront négligés.
On considèrera que le tir a lieu au niveau du sol.

L'angle sera donné en degrés (dans [0 ; 90]), la réponse sera arrondie au 1/2 degré le plus proche.

La longueur sera donnée en mètres arrondie au mètre le plus proche.

ATTENTION :
2 réponses sont attendues (angle et longueur).

Bonne chance à tous.

Posté par
Nofutur2
re : L'artilleur*** 04-01-08 à 16:26

gagnéAngle = 56,5° (au 1/2 degré le plus proche)
Longueur = 4799 m (au mètre le lus proche).
Bonne année à tous !!

Posté par
plumemeteore
re : L'artilleur*** 04-01-08 à 19:21

perdubonjour
l'angle du canon est de 45 degrés par rapport au sol, donnant une courbe d'une longueur maximum de 4591 mètres (le boulet atterrira 4 kilomètres plus loin)

Posté par
master_och
re : L'artilleur*** 04-01-08 à 21:37

gagnébonsoir J-P

J'ai trouvé l'équation suivante:
L = 4000 cos²-tgtg(y²+1)dy

J'ai résolu par programmation, je trouve alors:
Lmax= 4799m (4798.7arrondi au mètre le plus proche), pour une valeur de =56.5° (56.47arrondi au 0.5° le plus proche).
j'éspère que l'approximation donnée par mon programme ne me trompe pas, sinon

et merci pour l'énigme que je trouve interessante! .

Posté par
frenicle
re : L'artilleur*** 04-01-08 à 22:05

gagnéBonjour J-P

Pierre doit tirer avec un angle de 56°27'57" avec le sol, soit environ 56,5°.
La longueur de la trajectoire sera de 4798,71 m soit environ 4799 m.

(La portée sera alors de 3683,88 m).

Cordialement
Frenicle

Posté par
jamo Moderateur
re : L'artilleur*** 05-01-08 à 11:17

gagnéBonjour,

voici mes réponses :

angle = 56,5°

Longueur = 4799 m

Posté par bobuble (invité)re : L'artilleur*** 05-01-08 à 12:42

perdusa m'etonnerai que la reponse soi ossi simple que sa mais je v quan meme essayer:
200/10 bien que nous ne connaissont pa le points de l'obus
ce qui ferai 20°
je dirai que le resultat doit tourner dans c'est eau la

Posté par
jamo Moderateur
re : L'artilleur*** 05-01-08 à 14:42

gagnéRebonjour,

je reviens juste pour détailler la méthode que j'ai utilisée pour donner ma réponse.

On montre assez facilement que l'équation de la trajectoire est donnée par :

3$y = f(x) = - \frac{g}{2 V_0^2 \cos^2 ( \alpha )} x^2 + \tan ( \alpha ) x

On en tire la portée en résolvant l'équation f(x)=0 : 3$x_{max} = V_0^2 \sin (2 \alpha )

La longueur parcourue est donnée par :

4$ L( \alpha ) = \int_0^{x_{max}} sqrt{1 + [ f^'(x) ]^2} dx

Une petite tabulation de cette fonction (à la TI92 pour ma part) permet de trouver la valeur de l'angle !

Posté par
rogerd
Le fut du canon 06-01-08 à 15:52

gagnéMerci à J-P pour cette énigme.
Je n'ai rien trouvé de plus rusé que de calculer la longueur de la trajectoire du boulet en fonction de l'angle de tir a puis de chercher le  a qui donne la longueur maximale.

Le calcul de la longueur se simplifie un peu en prenant comme variable, au lieu du temps, l'angle polaire \alpha du vecteur vitesse (on évite les radicaux). On trouve  
l=\cos^2a.\frac{v_0^2}g.\int_{-a}^a\frac{1+tg^2\alpha}{\cos \alpha}d\alpha, qu'on sait calculer.
On dérive la fonction de a obtenue.

On cherche ensuite les zéros de la dérivée sur ]0,\frac \pi 2[.
On tombe sur une équation en \sin a que je ne sais pas résoudre de façon exacte.

A l'aide de la calculatrice, je trouve a=56 degrés, à 1 degré près. Unique zéro de la dérivée, il donne nécessairement le maximum.
J'en déduis la longueur de la trajectoire à 1 mètre près: l=4799 m.
Au revoir!

Posté par
davidh
re : L'artilleur*** 06-01-08 à 19:28

perduBonjour,

Pour un angle de 56 degrés, la trajectoire sera de 4798,4 mètres.

Sauf erreur

Merci pour l'énigme.

PS, la démonstration est facile, théorème de la mécanique plus intégrale d'une courbe curviligne et dérivation de la formule littérale. Les calculs sont fastidieux et j'ai un peu de flemme à écrire des pages de LATEX.

Posté par
rogerd
L'artilleur 06-01-08 à 23:02

gagnéJe m'aperçois qu'il fallait donner la réponse au demi-degré le plus proche et je crois l'avoir donnée au degré près. Comme j'ai trouvé 56,4658 degré, je crois que la réponse attendue était 56,5.
Pendant que j'y suis: j'ai trouvé 4798,715 comme longueur maximale de la trajectoire. je pense donc que la réponse attendue était: 4799 mètres.
Avec toutes mes excuses.

Posté par
torio
L'artilleur 08-01-08 à 11:08

gagnéangle = 56,5°
longueur = 4799 m

L\'artilleur

Posté par
gloubi
re : L'artilleur*** 08-01-08 à 14:42

gagnéBonjour,

Ah, la cinématique!

Après avoir testé plusieurs inclinaisons possible, je trouve une trajectoire de longueur maximum
pour une inclinaison de 56,5°, la longueur étant 4799 mètres.

A+,
gloubi

Posté par
dhalte
re : L'artilleur*** 09-01-08 à 14:02

gagnéBonjour
\text{Angle}\approx56,5^\circ
 \\ \text{Longueur}\approx4799 m

Dans le repère du canon :
Avec vitesse initiale v_0=200\text{m/s}  gravité g=10\text{m}\text{/s}^2

vecteur vitesse instantanée \vec{v}=\({v_0\cos(\alpha) \\ v_0\sin(\alpha)-gt}\)

module de cette vitesse instantanée
v=v_0\cos(\alpha)\sqrt{(\frac{g}{v_0\cos(\alpha)}t-\tan(\alpha))^2+1}

Abscisse de l'obus x=v_0\sin(\alpha)t-\frac12gt^2
L'obus touche terre pour t\neq0, x=0, ce qui exclut évidemment \alpha=0
Soit t_1 le moment de l'atterrissage t_1=2\frac{v_0\sin(\alpha)}g

La longueur de la trajectoire est donnée par la somme
\displaystyle L=\int_{t=0}^{t=t1}vdt

on rappelle que
\displaystyle \int (t^2+1)^{\frac{-1}2dt = \text{asinh}(t) + C

On en déduit une expression de la longueur de la trajectoire
L=\frac{v_0^2}{g}\[\cos^2(\alpha) \text{asinh}(\tan(\alpha))+\sin(\alpha)\]
L'expression dérivée en \alpha s'annule pour \alpha vérifiant l'expression \tan(\alpha)=\sinh(\frac1{\sin(\alpha)})
En posant z=\frac1{\sin(\alpha)}, on peut rechercher la solution de \sinh(z)\sqrt{z^2-1}=1
J'ai fini par une recherche de solution numérique (merci excel)

Posté par
Nyavlys
re : L'artilleur*** 11-01-08 à 14:00

perdu45°

Posté par
manpower
re : L'artilleur*** 11-01-08 à 21:37

Bonjour,

juste en passant "l'énigme" est vraiment belle, c'est un magnifique problème.
Par contre, le calcul intégral de la longueur de la parabole apparait vraiment rebutant ! (en cartésienne ou polaire d'ailleurs... bonjour les changements de variables, je n'ai pas le courage)
Ensuite il faudrait trouver le maximum en fonction de l'angle... pfff je suis curieux de voir les détails (sans outil de calcul formel).

Merci Pierre pour ta drôle d'idée.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 14:46

Enigme clôturée.

Pour ceux qui se sont trompés et ceux qui n'ont pas oser tenter l'aventure :

En choisissant un repère orthonormé avec l'origine à l'endroit du tir, l'axe des abscisses horizontal et l'axe des ordonnées vertical vers le haut, le plan xoy étant celui contenant la trajectoire de l'obus.
Avec l'origine des temps au moment du tir, on a:
x(t) = vo.cos(alpha).t
y(t) = vo.sin(alpha).t - gt²/2
avec Vo la vitesse initiale de l'obus et alpha l'angle entre le canon et l'horizontale.

En éliminant t entre ces 2 équations, on obtient l'équation de la trajectoire de l'obus, soit :
y = x.tg(alpha) - [g/(2.Vo².cos²(alpha))].x²

La résolution de x.tg(alpha) - [g/(2.Vo².cos²(alpha))].x² = 0 donne les 2 abscisses entre lesquelles il faut calculer la longueur de la trajectoire.
On a x1 = 0 et x2 = (vo²/g)*sin(2 alpha)

On peut alors calculer la longueur de la courbe trajectoire par :

 L(\alpha ) = \int_0^X_2\ \sqrt{1+y'^2}\ dx

On trouve: L = \frac{1}{2a}.(argsh(b) + \frac{sh(2argsh(b))}{2}]

Avec  a = g/(2.vo².cos²(alpha)) et b = tg(alpha)

On peut évidemment; si on veut, triturer l'expression de L pour faire sauter les fonctions hyperboliques ou bien les conserver ...

On a alors par exemple:

 L = \frac{Vo^2}{g}.[cos^2(x).ln(\frac{1+sin(\alpha)}{cos(\alpha)}) + sin(\alpha)]

Il suffit alors d'étudier la fonction L(alpha) pour trouver la valeur de alpha qui la rend maximum.

Soit on y va à la matheux, dérivée ..., soit on trace la courbe avec un tableur en prenant les précautions d'usage pour la précision, soit ...

Si on y va à la matheux, on tombe sur une équation (issue de L'(alpha) = 0) simple mais dont il est impossible de trouver la valeur solution de alpha de manière analytique. Et donc on y va soit graphiquement soit par approximations successives.

De toutes manières, on aboutit à une valeur max de L pour alpha = 0,982215... radian, soit 56,466...°, qui, arrondi au 1/2 degré le plus proche, donne alpha : 56,5°

En introduisant g = 10 N/m et vo = 200 m/s dans l'équation, on trouve alors L max : 4798,7... m et donc arrondi au m le plus proche: L max = 4799 m

Posté par
simon92
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 15:36

je suis trop décu, parce que j'arrivait pas a trouver la fonction de l'obus, alors que je connais el théorème perméttant de calculer la longueur d'un arc...
j'ai pourtant chercher la fonction, mais j'ai pas réussi

Posté par
gui_tou
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 15:40

Non J-P fallait pas cloturer

J'ai demandé à mon prof comment calculer des intégrales curvilignes, j'avais presque tout sur maple, et ce soir je voulais me lancer dans les applications numériques

Enfin bravo à tous

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 15:41

Pour celui que cela intéresse, voici la courbe de L(alpha)

L\'artilleur

Posté par
simon92
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 15:45

mais on peut pas avoir la courbe de l'obus? c'est a dire la courbe représentative de la trajectoire de l'obus...

Posté par
gui_tou
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 15:47

Là c'est une parabole banale ...

Posté par
simon92
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 15:49

bah, justement, c'est ce que je veux comme ca on calcule l'integrale de 1+[f'(x)]² de 0 a l'autre solution de l'équation f(x)=0e t voila au moins juste pour essayer

Posté par
gui_tou
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 15:50

y = x.tg(alpha) - [g/(2.Vo².cos²(alpha))].x²

Posté par
simon92
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 15:52

heu... t c'est quoi?

Posté par
frenicle
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 15:54

gagnéBonjour

C'est la courbe verte.
La rouge donne celle de portée maximale (4000 m, tirée à 45°)

L\'artilleur


Cordialement
Frenicle

Posté par
simon92
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 15:56

bonjour frenicle et merci
je vais pas essayer c'est un peu trop compliqué pour moi

Posté par
frenicle
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 15:57

gagnéMeuh non

Posté par
gui_tou
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 16:11

tg = tangente

Posté par
lucas951
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 16:12

J'espère pour toi

Posté par
simon92
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 16:13

ha sorry gui_tou
Je vais chercher a determiner la longueur de la courbe en fonctino de alpha, mais dans ce cas, il faut faire une integration avec deux variable, non?

Posté par
gui_tou
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 16:23

D'abord intègre la fonction en x, puis dérive la en fonction de alpha, enfin je pense

Posté par
simon92
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 16:28

oui, je vais voir ca avec mon atlas, mais aujourd'hui je vais un peu philosopher

Posté par
master_och
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 18:28

gagnéBonsoir à tous

J'adore les problèmes de physique (mais lorsqu'elles sont à la porté de mes connaissance biensur ), enfin j'ai juste voulue dire que l'énigme est superbe.

merci bien J-P

Posté par
veleda
re : L'artilleur*** 12-01-08 à 18:41

bonsoir à tous,
bravo à ceux qui ont trouvé
j'ai bien trouvé l'expression de la longueur de la trajectoire  en fonction de mais j'ai calé ensuite , j'y suis allée à la matheuse et les approximations successives c'est pas ma passion
la réponse est donnée, merci cela m'évitera de m'y remettre ce soir

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 54:17:02.
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