Niveau Préparation CRPE

L'associativité de la différence symétrique

Posté par
bouchaib 12-05-26 à 13:18

Bonjour,

J'ai peiné à démontrer que la différence symétrique est associative, je suis toujours dans l'impasse.
J'ai essayé et je n'ai pas pu.
Merci de m'orienter sur une voie pour arriver à cet objectif.

Posté par re : L'associativité de la différence symétrique 12-05-26 à 17:41

Bonsoir,
on peut voir qu'un élément x est dans A(BC) si et seulement si :
xA et xB et xC,
ou
xA et xB et xC
ou
xA et xB et xC
ou
xA et xB et xC

Et qui en est de même en déplaçant les parenthèses.

Posté par re : L'associativité de la différence symétrique 13-05-26 à 15:03

Bonjour,
Si on part de la définition $A\triangle B= (A\cap \overline{B}) \cup(\overline{A} \cap B)$ , alors on peut mettre $(A\triangle B)\triangle C$ sous "forme normale disjonctive" (réunion d'intersections de parties ou de leurs complémentaires) et voir ce qui en sort. On peut aussi voir que $\chi_{A\triangle B}=\chi_A+\chi_B \bmod 2$ .