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Niveau seconde
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L'écriture décimale ?

Posté par
jasmin7 04-07-17 à 13:43

Salut
Voilà ma question :
Un ordinateur a imprimé l'écriture décimale de 22017 et 52017.
Combien de chiffres l'ordinateur a t-il imprimé ?
Merci d'avance pour tous ceux qui veulent bien m'aider

Posté par
carpediemre : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 14:19

salut

encadre ces deux nombres par deux puissances successives de 10  ... ou considère leur logarithme décimal ...

Posté par
jasmin7re : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 14:36

Salut carpediem
Ma réponse était en total 2018
608 pour 22017 et 1410 pour 52017
Mais, je ne suis pas vraiment très sûre.

Posté par
carpediemre : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 15:04

\log 2^{2017} = 2017 \log 2 \approx 607,2

donc 2^{2017} \approx 10^{607,2} donc 608 chiffres ...

Posté par
Ryan07896re : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 15:33

Bonjour,

2^{2017 }* 5^{2017} = 10^{2017}
d'où le total de 2018 chiffres.

Carpediem, on ne voit pas log en seconde

Posté par
carpediemre : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 16:23

oui bien sur ... mais la définition peut-être volontairement naïve et compréhensible ...

sinon sachant que 2^{10} = 1024 \approx 10^3 alors

2^{2017} = 2^{201 * 10 + 7} = 2^7 (2^{10})^{201} \approx 2^7 (10^3)^{201} = 2^7 . 10^{603} > 100.10^{603} = 10^{605}

ou encore mieux : 2^{10} = 1024 \approx 10^3 + \dfrac 1 4 100

2^{2017} = 2^{201 * 10 + 7} = 2^7 (2^{10})^{201} = 2^7 (10^3 + \dfrac 1 4 100)^{201} \approx 2^7 1(0^{603} + \dfrac 1 4 201.100. 10^{600}) \approx 2^7(10^{603} + \dfrac 1 2 10^{604}) = 15.2^7.10^{603} \approx 2^{11} . 10^{603} \approx 2.10^{606}

...toujours pas assez ...

Posté par
Zormuchere : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 19:00

Sinon le nombre de chiffre de x*y est le (nombre de chiffre de x + le nombre de chiffre de y) ou (le nombre de chiffre de x + le nombre de chiffre de y - 1)

De là on sait que 2^(2017)*5^(2017)=10^(2017) et son nombre de chiffre est assez trivial

Posté par
Zormuchere : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 19:02

ce qui donne que la somme des nombres de chiffres de 2^(2017) et 5^(2017) est soit 2017 soit 2018
En l'occurrence il semblerait que c'est 2018

Posté par
Zormuchere : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 19:03

Ah Ryan a déjà proposé cette solution, au temps pour moi.

Posté par
cocolaricottere : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 19:31

Bonjour jasmin7

Regarde les réponses de Ryan07896 et Zormuche  qui utilisent le fait que

an * bn = (ab)n

Donc 22017 * 52017 = (2*5)2017 = 102017

OR 102017  s'écrit avec un 1 et 2017 zéros donc 2018 chiffres

Posté par
carpediemre : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 20:06

certes on a une relation entre le nombre de chiffre  de 2^2017 et 5^2017 ... mais ensuite ??


évidemment puisque 5 est (à peine) plus du double de 2 on en déduit trivialement que le nombre de chiffres de 5^2017 est le double de celui de 2^2017

on divise donc 2017 par 3 ce qui fait 672

donc 2^2017 a 672 chiffres et 5^2017 a 2 * 672 + 1 = 1345 chiffres ...

(le +1 car 5 est impair)


Posté par
cocolaricottere : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 20:23

Niveau seconde, il y a quand même plus simple !

Posté par
carpediemre : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 20:49

ben j'aimerai bien voir ...

Posté par
cocolaricottere : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 20:53

carpediem,

Tu ne vois que tes réponses sur ce sujet ? Pas celles des autres ?

Posté par
cocolaricottere : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 21:23

Oh pu.....  J'ai  mal lu le sujet !   

Citation :
Un ordinateur a imprimé l'écriture décimale de 22017 et 52017.
Combien de chiffres l'ordinateur a t-il imprimé ?


Rien à voir avec 22017 * 52017  

Je trouvais en effet étrange les réponses de carpediem ..

Posté par
Zormuchere : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 21:26

L'ordinateur a écrit 2^(2017) et 5^(2017) donc il faut calculer la somme de leurs nombres de chiffres, mais pas forcément leur nombre de chiffre individuellement

Posté par
cocolaricottere : L'écriture décimale ? 04-07-17 à 21:29

Tant mieux si certains ont une réponse niveau seconde à part celle de carpediem.

Moi je ne l'ai pas.  

Posté par
cocolaricottere : L'écriture décimale ? 05-07-17 à 23:45

Et puis ce n'est pas parce que le produit de 2 nombres est écrit avec n chiffres que la somme des chiffres permettant d'écrire les 2 nombres vaut n

Contrexemple : 102 * 445 = 45 390

Posté par
Zormuchere : L'écriture décimale ? 05-07-17 à 23:53

Jai précisé au dessus que ce n'était que à 1 près et aucune manière de savoir lequel c'était donc cest peut être faisable mais ce n'est pas moi qui vous dirai comment

Posté par
cocolaricottere : L'écriture décimale ? 06-07-17 à 00:00

En espérant qu'un jour jasmin7 nous poste une réponse obtenue à cet énoncé.

Posté par
Ryan07896re : L'écriture décimale ? 06-07-17 à 08:40

Bonjour,
Quelques exemples, apparemment ça fonctionne mieux avec des puissances...

2^2 * 5^2 = 10^2 \\ 2^2, 5^2 -> 425

Donc 3 chiffres

2^3 * 5^3 = 10^3 \\ 2^3, 5^3 -> 8125

Donc 4 chiffres

etc...
Néanmoins cela ne reste qu'une conjecture,et je n'ai pas réussi à trouver une manière de déterminer le nombre de chiffres exact lorsque le produit ne vaut pas 10^n...


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