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L egalité du paralelograme.
la question est de demontré que :
ABCD est un parralelograme si et seulement si
AB²+BC²+CD²+DA² = AC²+BD²
bon l'implication ABCD est un parralelograme donc :
AB²+BC²+CD²+DA² = AC²+BD²
ma posé aucun probleme (sois en passant par les complexe sois en utilisant directement le "theoreme de la mediane")
en revanche je butte sur la reciproque cad montrer que :
si
AB²+BC²+CD²+DA² = AC²+BD² alors ABCD est un parralelograme...
la ni les complexes ni les vecteur me donne des choses simple et le theoreme de la medianne semble inutilisable (enfin j'arrive pas a conclure avec)
alors si vous avez une idee la dessu..
NB : il s'agit d'un DM plutot orienté sur les complexes si sa peut vous aider...
Comme (vectoriellement, mais on peut faire la même chose avec les affixes complexes) AC=AB+BC et BD=BC+CD, l'égalité est équivalente (en développant le second membre) à
AB.BC+BC.CD=0 soit AB+CD nul ou orthogonal à BC
Si AB+CD est nul ABCD est un paralléléogramme; sinon on décompose
AC=AD+DC et BD=BA+AD donc AD.DC+BA.AD=0 donc AB+CD nul (exclu) ou orthogonal à AD; donc AD parallèle à BC
De même avec les décompositions AC=AB+BC et BD=BA+AD puis AC=AD+DC et BD=BC+CD, on montre que AB est parallèle à CD
donc...
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