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L'ensemble des matrices élémentaires

Posté par
KrnT 22-09-21 à 21:59

Bonjour/Bonsoir,
Une petite question me donne du fil à retordre, tout allait bien au début jusqu'à ce que j'arrive à la dernière question qui demande de trouver la dimension de l'ensemble, j'ai jeté un coup d'œil au corrigé mais il y avait tout simplement écrit Dim =n2-2(n-1)
Je ne sais pas d'où ça vient, merci de m'éclairer
Dans M𝑛(K)
1. Déterminer pour tout 1 =<𝑖, 𝑗=< 𝑛, 𝐶[𝐸𝑖,𝑗] ensemble des matrices commutants avec 𝐸𝑖,𝑗. Déterminer sa dimension

Posté par
carpediemre : L'ensemble des matrices élémentaires 22-09-21 à 22:35

salut

n'est-il pas "aisé" d'écrire ce que sont AE_{i,j} $ et $ E_{i_j} A avec A= (a_{i,j})  ?

Posté par
GBZMre : L'ensemble des matrices élémentaires 22-09-21 à 22:36

Bonsoir,

Si l'on a bien décrit ce sous-espace vectoriel, sa dimension devrait être facile à trouver. Quel est ce sous-espace vectoriel ?

Posté par
KrnTre : L'ensemble des matrices élémentaires 22-09-21 à 23:00

carpediem @ 22-09-2021 à 22:35

salut

n'est-il pas "aisé" d'écrire ce que sont AE_{i,j} $ et $ E_{i_j} A avec A= (a_{i,j})  ?

J'ai bien fait ça et ça donnait :\sum_{i=1}^{n}{a_{ii}}E_{ij}=\sum_{j=1}^{n}{a_{jj}}E_{ji}


GBZM @ 22-09-2021 à 22:36

Bonsoir,

Si l'on a bien décrit ce sous-espace vectoriel, sa dimension devrait être facile à trouver. Quel est ce sous-espace vectoriel ?

A vrai dire je ne sais pas comment faire :
" Quelque soit M matrice carré , ME_{ij}=E_{ij}M "

Posté par
phyelec78re : L'ensemble des matrices élémentaires 23-09-21 à 00:17

Bonjour ,

Comment doivent être les coefficient de la matrice M pour qu'elle commute  (donc vérifie l'égalité), donc appartienne C(Eij)?

Posté par
KrnTre : L'ensemble des matrices élémentaires 23-09-21 à 00:22

phyelec78 @ 23-09-2021 à 00:17

Bonjour ,

Comment doivent être les coefficient de la matrice M pour qu'elle commute  (donc vérifie l'égalité), donc appartienne C(Eij)?

Tout les coefficients sont nuls à part ceux sur la diagonale (aii=ajj)

Posté par
GBZMre : L'ensemble des matrices élémentaires 23-09-21 à 07:38

Tu n'as pas compris l'énoncé.

Il ne s'agit pas d'étudier les matrices qui commutent avec toutes les matrices élémentaires E_{i,j}, il s'agit de fixer UNE matrice élémentaire E_{i,j} (on choisit un (i,j)) et d'étudier le sous espace des matrices qui commutent AVEC CETTE MATRICE.

Posté par
KrnTre : L'ensemble des matrices élémentaires 23-09-21 à 14:25

Merci infiniment !


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