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l'espace des fonctions continue est complet
bonjour ;
je dois montrer que l'ensemble des fonctions continues sur un compact à valeur dans un complet ( muni de la norme uniforme )
est complet
soit Fn une suite de Cauchy de C([K,E] (muni de la norme uniforme)
j'arrive pas a montrer que Fn est de Cauchy dans E (pour la norme E) ??
dois - je pendre une suite d'image ?
merci de me répondre :p
Tu as donc un espace métrique compact (K,d) et (E,p) un 
-evnc .
On munit C(K,E) de la norme N : f 
Sup { p(f(x) | x 
K } .
Tu prends une suite n fn C(K,E) qui est de Cauchy ( pour N évidemment) et tu veux fabriquer f : K 
E telle que N(fn - f) 0 .
Tu prends donc x K .
Comment fabriquer f(x) ?
salut
soit Fn une suite de Cauchy de C([K,E] (muni de la norme uniforme)
j'arrive pas a montrer que Fn est de Cauchy dans E (pour la norme E) ??
ça veut dire quoi que
Tu as donc un espace métrique compact (K,d) et (E,p) un
-evnc .
On munit C(K,E) de la norme N : f
Sup { p(f(x) | x K } .
Tu prends une suite n
fn C(K,E) qui est de Cauchy ( pour N évidemment) et tu veux fabriquer f : K E telle que N(fn - f) 0 .
Tu prends donc x
K .
Comment fabriquer f(x) ?
pour dire que fn converge il faut qu'elle soit de Cauchy dans E qui est un complet .
puis par definition d'une suite Cauchy et en faisant tendre p vers l'infini on aura fq qui tend vers f donc f est la limite de fn .
puis il suffit de monter que f est bien la limite uniforme de fn ( f est continue sur K) et f est dans l'espace C([K,E]) .
salut
soit Fn une suite de Cauchy de C([K,E] (muni de la norme uniforme)
j'arrive pas a montrer que Fn est de Cauchy dans E (pour la norme E) ??
ça veut dire quoi que
je pense que ça veut dire que : a partir d'un certain rang les termes de la suite sont proche les uns des autres . et puisque on a la norme uniforme donc ses termes sont uniformément proche des un des autres a partir d'un certain rang ??
Je t'ai demandé de voir comment fabriquer f(x) .
je sais pas si je peux dire ça :
puisque x appartient a un compact K alors il existe une sous-suite de Xn d'éléments de K tq f(Xn)=Fn(x)
qui admet une val adhérence x puis par continuité de f sur K on aura Fn qui admet une val d'adhérence dans C([K,E])qui est f(x) .
puisque Fn est une suite de Cauchy pour la norme uniforme qui admet une val d'adhérence f(x) alors elle converge vers f(x) pour la norme uniforme .
Même si K n'était pas compact , le fait que n fn est de Cauchy pour N entraîne que , pour tout x , la suite n fn(x) est de Cauchy pour d (puisque d(fp(x) , fq(x)) 
N(fp - fq) pour tout (p,q) ) .
Comme (E , N) est supposé complet la suite n fn(x) converge vers un élément de E qu'on va appeler f(x) .
On définit ainsi une application f : K E .
Reste à montrer que N(fn - f) 0 et que f est continue .
Même si K n'était pas compact , le fait que n
fn est de Cauchy pour N entraîne que , pour tout x , la suite n fn(x) est de Cauchy pour d (puisque d(fp(x) , fq(x)) N(fp - fq) pour tout (p,q) ) .
Comme (E , N) est supposé complet la suite n
fn(x) converge vers un élément de E qu'on va appeler f(x) .
On définit ainsi une application f : K
E .
Reste à montrer que N(fn - f)
0 et que f est continue . Mile merci de m'avoir répondu
. 
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