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l’espace des suites

Posté par
seif25 01-03-20 à 21:24

Bonsoir, j'ai un exercice si vous pouvez m'aider, je vous remercie d'avance.

Soit l'espace l^1 des suites   X={{({{x}_{n}})}_{n\in \mathbb{N}}}     de nombres réels dont la série converge absolument et on considère la norme :

{{\left\| X \right\|}_{1}}={{\left\| {{({{x}_{n}})}_{n\in \mathbb{N}}} \right\|}_{1}}=\sum\limits_{n}^{+\infty }{\left| {{x}_{n}} \right|}

Pour chaque  k\in \mathbb{N},  on considère la suite  {{X}_{k}}={{({{x}_{n,k}})}_{n\in \mathbb{N}}}  telle que pour chaque n\in \mathbb{N} on a :

{{x}_{n,k}}=\left\{ \begin{aligned} \\   & 0\text{ si }n\ne k \\ \\ & 1\text{ si }n=k \\ \\ \end{aligned} \right.

1) Montrer que la suite {{({{X}_{k}})}_{k\in \mathbb{N}}}  ne converge pas vers la suite constante nulle.

2) Montrer que la suite {{({{X}_{k}})}_{k\in \mathbb{N}}} ne possède aucune suite extraite convergente.

3) Déduire que la boule fermée de centre la suite nulle et de rayon 1 de l'espace l^1 n'est pas compacte.

Posté par
XZ19re : l’espace des suites 01-03-20 à 23:16

Bonjour  
Personnellement je  répondrai à la question 2.  (car  elle  implique  1).  

Tu supposes qu'il existe une suite  extraite  (X_f(k))_k   qui converge  vers  un  élément Y  de l^1.

Ecrire  la définition de  (X_f(k))_k  converge vers Y et montrer que ça implique  que  le n-ème  terme  de  la  suite  (X_f(k))_k   cv vers le n  terme  de Y  (ceci pour tout  n).  En déduire la seule valeur possible de Y.  
Je crois qu'en ayant fait ça proprement l'exercice est facile à finir.

Posté par
XZ19re : l’espace des suites 01-03-20 à 23:16

Pour la suite extraite  lire  (X_{\phi(k)})_k

Posté par
seif25re : l’espace des suites 02-03-20 à 07:32

Bonjour,

Je vois que :       \left\| {{X}_{k}} \right\|=1  ,      {{\left\| {{X}_{\phi (k)}}-y \right\|}_{1}}\to 0      et      {{X}_{\phi (k)}}\to y

Mais je n'arrive pas à démontrer et trouver l'absurde.

Posté par
XZ19re : l’espace des suites 02-03-20 à 09:53

Et bien  \|X_{\phi(k)}-Y\|_1=sum_{n=1}^\infty |(X_{\phi(k)})_n-Y_n|\geq  |X_{\phi(k)}_p-Y_p|,\forall  p.  

[tex](X_{\phi(k)})_n[/tex]  étant la n_ième composante de la suite (X_{\phi(k)})

Implique  X_{\phi(k)}_p - Y_p  tend vers  0. Mais pour k  assez grand  X_{\phi(k)}_p=0  donc Y_p=0, \forall p  Autrement dit si une  sous suite converge c'est vers la fonction nulle.  

Et par définition  ça signifie que  \|X_{\phi(k)}\|  tend  vers  0.....on voit bien la contradiction

Posté par
carpediemre : l’espace des suites 02-03-20 à 10:04

salut

pour p <> q que vaut ||X_p - X_q|| ?

on peut alors conclure en remarquant qu'une suite convergente est de Cauchy ...

Posté par
XZ19re : l’espace des suites 02-03-20 à 10:14

Bonjour

@Carpédiem  je pense qu'il faut faire attention avec la suite de Cauchy. En effet, ne sachant pas si celui qui pose la question  considère comme acquis la nature de l'espace normé l^1. Si oui il n'y a pas de problème mais sinon?

Posté par
carpediemre : l’espace des suites 02-03-20 à 10:27

XZ19 : d'accord avec toi mais même sans connaitre la nature exacte de cet espace il me semble qu'on peut utiliser quand même cette voie ...

il est raisonnablement évident que cet espace est un evn ...

et je ne pense pas qu'on puisse parler de cet exo sans avoir vu (les bases de) cette théorie ...

Posté par
XZ19re : l’espace des suites 02-03-20 à 10:35

Oui  on est d'accord. Finalement c'est à @seif5^2 de réfléchir.  

Posté par
seif25re : l’espace des suites 02-03-20 à 16:15

Bonjour,

La contradiction {{\left\| {{X}_{\phi (k)}} \right\|}_{1}}=1 ? , sinon avec la question 1).

Je n'ai pas compris pourquoi  {{X}_{\phi (k)}}_{p}-{{Y}_{p}}  tends vers 0.

Cet exercice me casse la tête et je cherche d'abord à comprendre la question 1)

Posté par
lionel52re : l’espace des suites 02-03-20 à 16:20

Hello !
Ecris les choses
X1 = (1,0,0,0,0....)
X2 = (0,1,0,0,0...)
X3 = (0,0,1,0,0...)

|Xn| = 1 donc Xn ne peut pas tendre vers 0

Posté par
XZ19re : l’espace des suites 02-03-20 à 16:39

Bonjour
J'avais zappé la première question car  je pensais que c'était évident pour toi.  

A mon avis il faut revenir au fondamental: tu  as écris  \|X_k\|=1 ça  c'est vrai.    

Alors peux rappeler  la définition de  "la suite (X_k)_k  converge  vers   0" ?   (dans l^1 )

Si tu  réponds correctement  à cette question (c'est le BA-Ba du cours), en principe tu verras sans problème la réponse à la question 1.

Posté par
seif25re : l’espace des suites 02-03-20 à 17:04

Bonjour,

Pour tout    \varepsilon >0    il existe  K\in \mathbb{N}  tel que    K\ge k ,   {{\left\| {{X}_{k}} \right\|}_{1}}\le \varepsilon

Ce qui n'est pas possible car    {{\left\| {{X}_{k}} \right\|}_{1}}=1

c'est ça ?

Posté par
XZ19re : l’espace des suites 02-03-20 à 18:37

Oui mais  la définition exacte c'est \|X_k\|  tend vers 0.  
Et plus généralement la définition de  (X_k)  tend vers  Y (au sens de la norme  énoncé dans l'exo)   c'est  \|X_k-Y\|  tend vers 0.  

Donc la question 1 est  résolue.  

Pour la question  2.  (pour l'instant on ne tient pas compte de la remarque de @Carpédiem
mais il serait bien d'y revenir ensuite).  

Je mets  des    questions intermédiaires pour faciliter le travail.  

a)  Supposons qu'une  suite  (X_k)_k  (ici  n'importe  quelle  suite  de l^1)  

converge  vers   Y.  Montrer  que pour tout  n,  (X_k)_n  converge  vers Y_n   ((X_k)_n   resp .  Y_n   représente  le n-ième terme de la suite  (X_k)  resp  Y

b)   Montrer  que si une sous-suite  de (X_k)  converge vers une suite Y  alors  Y=0.

c)  En déduire qu'aucune sous-suite de (X_k) est convergente.  

Version 2.  (voir le message de @Carpediem)  

a)  Montrer que  l^1   (muni  de la norme  donnée dans l'énoncé) est complet  
(en général  c'est notion vue en  cours)

b)  Refaire la question en utilisant ce résultat.




Posté par
carpediemre : l’espace des suites 02-03-20 à 18:48

attention mon idée n'était pas du tout ce que tu penses ... afin si je pense ce que tu penses !!!

les éléments de la suite (x_n) = (\delta_{k,n})_n sont tous de norme 1

donc pour tous éléments u et v de cette suite ||u - v|| = 2

et donc cela reste vrai pour les éléments de toute sous-suite de cette suite ...


donc aucune sous-suite ne peut être de Cauchy et donc ne converge certainement pas ... que l'espace soit complet ou non ...

ce me semble-t-il ...

Posté par
XZ19re : l’espace des suites 02-03-20 à 19:27

Oui,  effectivement.  Tu as raison, j'ai  réagi  par réflexe.  

Posté par
XZ19re : l’espace des suites 02-03-20 à 19:28

Néanmoins   c'est pas inutile  de savoir que l^1 est complet.  

Posté par
carpediemre : l’espace des suites 02-03-20 à 20:04

tout à fait ... d'autant plus que c'est un exemple simple et "concret" (qu'on peut se représenter facilement) d'un espace complet avec boule unité non compacte du fait de sa dimension infinie

et que la complétude et la compacité sont donc deux notions différentes ... ou du moins la complétude est insuffisante à la compacité


mon cheminement répond aussi aux deux premières questions en un ...

Posté par
seif25re : l’espace des suites 02-03-20 à 20:20

Bonsoir,

Je n'arrive pas à comprendre vos étapes intermédiaires.

Soit  {{\left( {{X}_{\phi (k)}} \right)}_{n}}   une suite de Cauchy.

Pour  \varepsilon =1  il existe  {{n}_{0}}\in \mathbb{N}  tel que   \forall q\ge {{n}_{0}}   ,  \left\| {{X}_{\phi ({{n}_{0}})}}-{{X}_{\phi (q)}} \right\|<1

Pour  \varepsilon =\frac{1}{2}   il existe    {{n}_{1}}>{{n}_{0}}    tel que     \forall q\ge {{n}_{1}}  ,  \left\| {{X}_{\phi ({{n}_{1}})}}-{{X}_{\phi (q)}} \right\|<\frac{1}{2}

Puis par récurrence pour    \varepsilon =\frac{1}{{{2}^{k}}},     on pose   {{n}_{k}}>{{n}_{k-1}}     tel que       \forall q\ge {{n}_{k}}  ,      \left\| {{X}_{\phi ({{n}_{k}})}}-{{X}_{\phi (q)}} \right\|<\frac{1}{{{2}^{k}}}

En particulier :   \left\| {{X}_{\phi ({{n}_{k+1}})}}-{{X}_{\phi ({{n}_{k}})}} \right\|<\frac{1}{{{2}^{k}}}

On pose    {{X}_{\phi (k)}}={{X}_{\phi ({{n}_{p+1}})}}-{{X}_{\phi ({{n}_{p}})}}     alors      \left\| {{X}_{\phi (k)}} \right\|\le \frac{1}{{{2}^{k}}}

Si c'est bon, je suis bloqué ici, pour conclure que   {{X}_{\phi (k)}}     n'est pas de Cauchy.

Posté par
carpediemre : l’espace des suites 02-03-20 à 20:45

ben ça démarre mal ...

seif25 @ 02-03-2020 à 20:20


Soit  {{\left( {{X}_{\phi (k)}} \right)}_{n}}   une suite de Cauchy.


Si c'est bon, je suis bloqué ici, pour conclure que   {{X}_{\phi (k)}}     n'est pas de Cauchy.
inutile de supposer qu'elle soit de Cauchy pour montrer qu'elle n'est pas de Cauchy ... d'autant plus avec ce que j'ai écrit ... mais l'as-tu lu ?

Posté par
seif25re : l’espace des suites 02-03-20 à 21:04

J'ai tout lu, mais je ne comprends pas, car vous ne détaillez pas.
Je suis débutant en topologie et je n'ai pas fait encore assez d'exercices. Pour cet exercice même la solution, ça va me prendre du temps pour la comprendre.


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