L'éventail maudit

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L'éventail maudit
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dpi  18-02-20 à 16:23
Bonjour à tous,

Pour ceux qui sont en vacances et qui souffrent du manque de calcul....

Vous connaissez le Sandaku.

Cet éventail est un tiers de cercle de diamètre  1.

Quels sont les rayons des cercles  vert jaune?

Vous avez bien sûr déduit que le cercle rouge à un rayon de 0.25

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lakere : L'éventail maudit  19-02-20 à 10:41
Bonjour dpi,

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Pour l'instant le cercle vert de rayon  
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matheuxmatoure : L'éventail maudit  19-02-20 à 11:43
bonjour

le cercle vert est tangent à quoi à son niveau supérieur ?... le segment ou le cercle mauve ?
 Posté par 
lakere : L'éventail maudit  19-02-20 à 11:46
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Quant au cercle jaune, j'obtiens un rayon de  après avoir calculé celui du violet: 

 Posté par 
lakere : L'éventail maudit  19-02-20 à 11:48
Aïe! j'ai considéré qu'il(s) étai(en)t tangent(s) au segment; ça pue pour moi... 
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lakere : L'éventail maudit  19-02-20 à 12:38
Comment j'ai compris la question:

Les deux points de contact avec la corde  en rouge.

??

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dpire : L'éventail maudit  19-02-20 à 14:20
Le cercle vert est tangent à la corde au rayon et au cercle rouge.

Le cercle mauve est tangent à la corde .(entre autres).

>lake

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Excellent on attend les autres.
 Posté par 
lakere : L'éventail maudit  19-02-20 à 15:55
Re bonjour dpi 

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Et merci pour ton sangaku! 

Des points de contact et des alignements.

L'alignement bleu est "facile" à prouver.

Par contre le rouge risque de ne pas se laisser faire (je n'ai rien tenté) 
 Posté par 
dpire : L'éventail maudit  19-02-20 à 17:12
>lake

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Pour le rayon  r  du cercle vert :

Je nomme x le segment entre la pointe  et ses tangences.

On observe que r=x(tan(15))

Puis avec Pythagore  (r+0.25)²-(0.5-x)² =r²

On remplace r  par  x(tan(15))  et on résout.

Sauf erreur on trouve  x= 0.2014 et donc r =0. 0533

 Posté par 
lakere : L'éventail maudit  19-02-20 à 19:09
>> dpi

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J'avais compris qu'il fallait donner des valeurs "exactes".

 Ta quatrième décimale est fausse.
 Posté par 
dpire : L'éventail maudit  20-02-20 à 08:07
>lake

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Justement ,c'est pour cela que je  te donne ma méthode ,je peux chercher plus de décimales ,mais j'aimerai comprendre la  tienne...Merci.

 Posté par 
dpire : L'éventail maudit  20-02-20 à 08:29
suite,

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Effectivement en utilisant la tangente avec les bonnes décimales ,j'obtiens respectivement 0.053847577293368  et 0.032762100848499.

Et j'attends ta méthode ne faisant intervenir que 3. 
 Posté par 
littleguyre : L'éventail maudit  20-02-20 à 09:14
Bonjour dpi  

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Je m'étais intéressé à ce problème il y a quelques années et trouvé une étude détaillée ici :  
 Posté par 
dpire : L'éventail maudit  20-02-20 à 09:22
Merci litleguy
 Posté par 
lakere : L'éventail maudit  20-02-20 à 09:33
>> dpi,

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J' ai juste écrit que 

     et ton équation du second degré donne:

  dont le discriminant réduit vaut 

La seconde solution trouvée est 

   et elle correspond à un second cercle tangent aux deux droites et à ton cercle rouge de départ:

Pour le cercle jaune j'avais utilisé  le théorème de Descartes.

 Posté par 
dpire : L'éventail maudit  20-02-20 à 19:56
Merci lake,

Comment ai-je pu oublier que tan(15°) =2-3.
 Posté par 
lakere : L'éventail maudit  20-02-20 à 20:22
Je me suis bien amusé avec ton sangaku dpi: merci 

 Des cadors en géométrie circulaire (les inversions et leurs compositions) auraient beaucoup à dire sur cette configuration... 
 Posté par 
veledare : L'éventail maudit  21-02-20 à 18:42
bonjour   

merci    dpi

> Lake        c'est par inversion que   j'ai   étudié  les alignements bleu et rouge  dont  tu parlais     pour le bleu c'est effectivement immédiat

 Posté par 
lakere : L'éventail maudit  21-02-20 à 22:13
Bonsoir veleda 

Oui, encore un alignement (rouge) qui sort du cadre du sangaku de dpi (mais on a parlé au dessus de ce deuxième cercle tangent à  et au cercle bleu:

L'inversion de pôle  et de cercle d'inversion le cercle en pointillé bleu échange les deux cercle rouges et laisse invariant le cercle bleu.

 C'était tout de même de la très belle géométrie, hélas disparue ...
 Posté par 
veledare : L'éventail maudit  21-02-20 à 22:46
oui  ,c'est dommage c'est ce que j'étudiais il y a   exactement   75  ans  en   terminale 

il y a  plusieurs inversions intéressantes pour transformer la  figure   initiale
  Posté par 
lakere : L'éventail maudit  21-02-20 à 22:59
C'est effectivement "dommage".

Oui avec des points de contact partout, les inversions ont leur mot à dire 

 75 ans! Ça fait rêver! Moi, c'était un peu plus tard mais tout de même: mon grand père a vécu sous Napoléon III; rien à voir mais on s'accroche à ce qu'on a 

Passe une très bonne nuit veleda