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Que du bleu : (1/4)^n
Que du vert : (1/8)^n
Que du jaune : (5/8)^n

Que du bleu et du vert : somme des (k parmi n)(1/4)^k(1/8)^(n-k), pour k entre 1 et n-1 =

Que du bleu et du jaune : somme des (k parmi n)(1/4)^k(5/8)^(n-k), pour k entre 1 et n-1

Que du vert et du jaune : somme des (k parmi n)(1/8)^k(5/8)^(n-k), pour k entre 1 et n-1


donc pas toutes les couleurs :


Probabilité cherchée : 1 - (pas toutes les couleurs)

C'est aussi

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La couleur actuelle m'a l'air d'une honnête chaine de Markov de proba invariante (1/4, 1/8, 5/8) ce qui donne des temps moyens d'atteinte de respectivement 4, 8, et 8/5 et qu'il faut arreter au temps n.

Ta question consiste à trouver l'espérance de partant de où c est la couleur dont on part initialement. Le résultat dépendra d'où on part.

Si on reste dans le cadre de n tirages successifs, cette variable aléatoire vaut avec une probabilité facile à calculer : , où p_j est la probabilité de se retrouver à la couleur j.

A moins que les coefficients soient tels que cette probabilité d'échec soit nulle, ça veut dire que  T prend la valeur sur un ensemble de mesure non nulle, donc que ...

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En revanche, si on oublie les n tirages et qu'on s'autorise à faire autant de tirages que nécessaire, alors T est finie presque sûrement, et vu les coefficients, je n'ai pas fait de calcul ni de simulation Monte-Carlo pour vérifier, y'a de bonnes chances que son espérance empirique tourne autour de 6