Niveau énigmes

l'indicatrice d'une partie A d'un ensemble E

Posté par
Abrass 14-05-19 à 14:30

Bonjour,
je suis à une chose un peu bizarre que voici :
la fonction $\sum_{n=0}^{+\infty}{1_{[0, n]}}$ . Cette fonction prend la valeur 0 si x est strictement inférieur à 0 et plus l'infini sinon . Pourtant elle n'est pas constante sur [0, $+\infty$ [ car les valeur de plus l'infini qu'elle prend sont décroissante au fur et à mesure . Quelqu'un pourrait m'en dire un peu plus sur ce genre de fonction?:P

Posté par re : l'indicatrice d'une partie A d'un ensemble E 14-05-19 à 14:46

Bonjour

Soit $x > 1$ et $k$ la partie entière de x.

Alors $1_{[0,n]}=1$ si $n \leq k$ et ${1_[0,n]}=0$ pour $n> k$ .
Dans ce cas, $f(x)=k$ . C'est une fonction en escalier, strictement croissante.

Pourquoi t'attendais-tu à autre chose?

Regarde $\sum_{n=0}^\infty 1_{[n,n+1[}$ définie sur [0,+\infty[. Celle-ci est bien constante.

Posté par re : l'indicatrice d'une partie A d'un ensemble E 14-05-19 à 15:10

Cette fonction je la vois plutôt comme :
$1_{{0}}$ + $1_{[0, 1]}$ + $1_{[0, 2]}$ + $1_{[0, 3]}$ + $1_{[0, 4]}$ + $1_{[0, 5]}$ ... Sa valeur est + $\infty$ dès que x est positve. Mais elle décroissante au fur et à mesure car lorsque pour x parcours R₊, on passe de x=n à x=n+1, la valeur prise par la fonction reste toujours + $\infty$ mais $1_{[n-1, n[}$ est 0.

Posté par re : l'indicatrice d'une partie A d'un ensemble E 14-05-19 à 15:19

J'ai dit des bêtises. Mais la fonction n'est même pas définie. (On n'a pas le droit de dire que ça vaut $\infty$ ).

En effet, par exemple, f(5/2)=0+0+0+0+0+1+1+...

Si tu notes $f_n$ la $n$ -ème somme partielle, on a
$f_n(x)=0$ si $n < x$ et f_n(x)= $E(x-n)$ si $n>x$ . Comme le terme général de cette série ne tend pas vers 0, la série diverge!