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l’intégrale d'une fonction symétrique???

Posté par
salamandre 05-04-13 à 05:44

bon voila l'exercice mon problème c'est la 3éme question je ne sais vraiment pas comment la résoudre aider moi stp

l’intégrale d\'une fonction symétrique???

Posté par
delta-Bl’intégrale d'une fonction symétrique??? 05-04-13 à 07:33

Bonjour.  

Pour le 3) Montrer en premier lieu que \large \int_a^{\frac{a+b}{2}}f(x)dx=\int_{\frac{a+b}{2}}^b f(x)dx} et ce en en utilisant un changement de variable, la symétrie puis un autre changement de variable.
Remarque: Il faut supposer en plus que l'intégrale de  f  sur  [a,b],     \large \int_a^b f(x)dx  existe.

Posté par
malou Webmasterre : l’intégrale d'une fonction symétrique??? 05-04-13 à 09:56

Bonjour
oui, ou bien avec l'interprétation géométrique de l'intégrale (aire)
c'est immédiat!

Posté par
delta-B l’intégrale d'une fonction symétrique??? 05-04-13 à 22:25

Bonjour.

L'intégrale \int_a^b f(x)dx ne représente une aire uniquement que dans le cas f(x) \ge 0 (ou f(x)\le0) mais pas le cas où f ne garde pas un signe constant.

Posté par
malou Webmasterre : l’intégrale d'une fonction symétrique??? 06-04-13 à 08:54

cela représente l'aire algébrique, et c'est donc valable même si elle ne garde pas un signe constant

Posté par
delta-Bl’intégrale d'une fonction symétrique??? 06-04-13 à 15:51

Bonjour.

Je sais. J'ai voulu pour l'aire garder son sens usuel et ne pas parler d'aire algébrique

Posté par
salamandrere : l’intégrale d'une fonction symétrique??? 17-04-13 à 01:52

RE salut tous monde

j'ai revisionner cet exercice est je me suis découvert que j'ai fait une erreur dans la première question sur f1(x) je me suis tromper sur l'intégrale j'ai essayer de corriger mais j'arrive toujours pas a résoudre cet intégral qlq1 peut m'aider stp

Posté par
delta-Bre : l’intégrale d'une fonction symétrique??? 17-04-13 à 04:54

Bonjour.

\large {\int ln(x+(1-x^2))dx = xln(x+1-x^2)-2x-\frac{1}{2}ln(-x-1+x^2)+\sqrt{5} arctanh\frac{\sqrt{5}(-1+2x)}{5}}+C

Posté par
salamandrere : l’intégrale d'une fonction symétrique??? 19-04-13 à 20:16

merci delta-B l'intégrale des fraction rationnelles sa ma vraiment échappé je vais refaire le travaille et je vous met au courant

Posté par
salamandrere : l’intégrale d'une fonction symétrique??? 19-04-13 à 20:40

voila j'ai trouver

f1(x)=[xln(x+(1-x2)]-5 /2(ln[(1+5)/2] + ln[(1-5)/2]

car en utilisant l'intégration des fraction rationelles j'ai trouver que =5  et  A=5/2 et B=-5/2

j'espère que c'est juste ??

Posté par
delta-Bre : l’intégrale d'une fonction symétrique??? 20-04-13 à 04:27

Bonjour.

Vous pouvez vérifier vous les calculs en dérivant f1(x) et ça m'étonnerait que ce soit juste.
La dérivation de f1(x) va donner la somme du terme en log  et d'une fonction rationnelle.

Posté par
salamandrere : l’intégrale d'une fonction symétrique??? 20-04-13 à 21:37

salut delta-B

j'ai fait une petite erreur voila se qu'elle devrait me donner  

f1(x)=[xln(x+(1-x2)]-5 /2(ln[x-(1+5)/2] + ln[x-(1-5)/2]

quand tu as intégrer cette fonction a la fin il y'a  arctanh son apparition veux dire que ta trouver le discriminant négatif <0 si je me trompe pas alors que le discriminant est positif

Posté par
delta-Bre : l’intégrale d'une fonction symétrique??? 20-04-13 à 23:34

Bonjour.

1) Ne pas confondre les 2 fonctions arctan (arc tangente définie sur ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[) et arctanh (Argument tangente hyperbolique définie sur ]-1,1[))  et on a:
\normalsize {(arctan(x))'=\frac{1}{x^2+1} }   et \normalsize {(arctanh(x))'=\frac{1}{1-x^2} } et
\normalsize {arctanh(x)=-\frac{1}{2}(ln(1-x)+ln(1+x))=-\frac{1}{2}ln(\frac{1+x}{1-x}} sur ]-1,1[

2) Quel est le domaine de définition de ln(x+1-x^2)

3) Une première intégration par parties donne:

\int ln(x+(1-x^2))dx = x ln(x+(1-x^2))- \int \frac{x(1-2x)}{x+(1-x^2)}dx

Revoyez la décomposition en éléments simples  de \frac{x(1-2x)}{x+(1-x^2)} (Le dénominateur admet effectivement 2 racines réelles distinctes).              

Posté par
delta-Bre : l’intégrale d'une fonction symétrique??? 20-04-13 à 23:50

Bonjour.

\text{ Correction erreur de frappe}

\normalsize {arctanh(x)=\frac{1}{2}(-ln(1-x)+ln(1+x))=\frac{1}{2}ln(\frac{1+x}{1-x}}) sur ]-1,1[


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