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l'ordre dans R

Posté par
bouchaib 10-11-20 à 19:03

Bonsoir,
J'ai un exercice dont la première question est la suivante,
1)-Montrer que si a et b sont des réels quelconques :

\sqrt{a^{2}+b^{2}}\leq \left|a \right|+\left|b \right| et \left|a-b \right| \leq \left|a \right|+\left|b \right| .
Ma réponse à cette question est : comme les deux quantités sont positives je peux comparer leurs carrés,(\sqrt{a^{2}+b^{2}})^{2}-(\left|a \right|+\left|b \right|)^{2}= -2\left|a \right|\left|b \right|\leq 0  C.Q.F.D.
et
\left|a-b \right|^{2}-(\left|a \right|+\left|b \right|)^{2}=-2(ab+\left|a \right|\left|b \right|)\leq 0.
(ab+\left|a \right|\left|b \right|)
est nulle si a et b sont nuls ou de signes différents, la somme est positive si a et b ne sont pas nuls et de même signe  et le produit -2 (ab+\left|ab \right|)\leq 0 C.Q.F.D.
Je voudrais savoir si c'est rigoureux pour cette première question.
Merci par avance.
  

Posté par
Maru0re : l'ordre dans R 10-11-20 à 19:11

C'est correct. Il y a peut-être plus simple pour la 2ème :
Si x réel alors -x \leq |x|, donc 0 \leq |x| + x.

Posté par
bouchaibre : l'ordre dans R 10-11-20 à 19:59

Merci

Posté par
bouchaibre : l'ordre dans R 10-11-20 à 20:35

Je n'est pas pu faire la liason pour faire simple pour la 2ième.
Pardon !
J'étais entrain d'essayer votre indication .
Merci pour plus de détail !

Posté par
Maru0re : l'ordre dans R 10-11-20 à 20:41

Pour x=ab réel, ce que j'ai écrit donne la seconde inégalité.
Et ça me semblait plus simple que de faire une disjonction de cas sur les signes de a et b.

A moins que tu ne voulais plus de détails sur l'origine de x + |x| \geq 0 ?

Posté par
bouchaibre : l'ordre dans R 10-11-20 à 21:29

Merci là j'ai compris quand vous avez précisez x= ab .
Tt de suite j'ai compris que vous parler du produit -2(ab +  v.abs(a.b))
Merci, effectivement c'est plus matheux !
Belle soirée.


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