Bonjour,

Je m'entraine pour les partiels et je suis tombé sur cet exercice sur lequel j'ai quelques difficultés. Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance !

Énoncé:
On s'intéresse au nombre X de visiteurs de la tour Eiffel en une journée. On suppose que X suit la loi de Poisson de paramètre λ₁= 10000 si la journée est pluvieuse ; et la loi de Poisson de paramètre λ₂= 30000 s'il ne pleut pas. On suppose de plus qu'il pleut en moyenne un jour sur deux à Paris.

1.   Rappeler l'expression de la loi de Poisson de paramètre λ, son espérance et sa variance.

2.   Quelle est la probabilité que X=k sachant qu'il pleut ?

3.   Quelle est la probabilité que X=k ?

4.   Calculer E(X), E(X²), puis la variance de X. En déduire que X ne suit pas une loi de Poisson.


Mon travail:


1.   P(X=k) =  (λ^k/k!)e^-λ
E(X) = λ
V(X) = λ

2.  P(X = k) = (10000^k/k!)e^-10000
nb: c'est à cette question que je commence à douter, je la trouve trop simple, ce qui m'amène à penser que je fais déjà fausse route... Mais je n'arrive pas à voir là où je me trompe.


3.  J'ai commencé par analyser la phrase "On suppose de plus qu'il pleut en moyenne un jour sur deux à Paris", et je l'ai traduite de la façon suivante :

Soit Y une v.a. "Il pleut à Paris", alors E(Y) = 1/2
j'ai ensuite essayé de passer par des probabilités conditionnelles, du type,

P(X=k sachant Y) = (10000^k/k!)e^-10000
P(X=k sachant ) = (30000^k/k!)e^-30000

Mais cela me semble faux. C'est pourquoi je me tourne vers vous pour obtenir des pistes !

Merci