Niveau Licence-pas de math

[L2 info] - Loi exponentielle

Posté par
mathist 04-01-19 à 00:51

Bonsoir,

Je suis (à nouveau ^^') coincé sur un exo (niveau L2 info) de probabilité. Il porte sur les lois continues. Le professeur précise que cet exercice est 'difficile' - pour notre niveau.

Enoncé:
Pour aller de A à B, on peut prendre le bus ou le métro. Le bus suit une loi exponentielle de moyenne 35 minutes et le métro une loi exponentielle de moyenne 20 minutes.
Quelle est la probabilité que le trajet en bus soit plus rapide que le trajet en métro ?

Mon travail:
J'ai commencé par poser deux v.a. :
M : la v.a. associée au temps de trajet du métro
B: la v.a. associée au temps de trajet du bus

Résoudre le problème revient à trouver la probabilité de P(M > B) ?
A partir de là, je ne sais pas comment faire, et pourtant je n'aime pas venir sur ce forum les mains vides. Je n'ai juste aucune idée d'où commencer :/

Merci d'avance !

Posté par re : [L2 info] - Loi exponentielle 04-01-19 à 01:26

Bonjour mathist.
Je pense qu'on peut déjà affirmer que M et B sont deux variables aléatoires indépendantes. Il me semble en effet raisonnable de penser que les conditions de circulation du bus n'influent pas sur celles du métro.

Par conséquent on a, pour tout $t > 0, \mathbb P (B \leq t \leq M) = \mathbb P(B \leq t)\times \mathbb P(t \leq M) = G(t)$ .

Il faut se rappeler ensuite de la fonction de répartition d'une loi exponentielle.

Alors après, je crois que $\mathbb P (B \leq M) = \int_0^\infty G(t)dt$ (mais là, à prendre avec des pincettes)

Posté par re : [L2 info] - Loi exponentielle 04-01-19 à 08:56

salut , une idée mais à verifier en posant Z = Tb - Tm puis en calculant sa moyenne et son ecart type on peut travailler ensuite avec une loi normale ,
E(Z)= E(Tb)-E(Tm)
V(Z)= (écart type de Tb )² + (écart type de Tm )² avec écart type de Tb = 1/(1/35)²
et écart type de Tm= 1/(1/20)²

puis on calcul P(Z 0)

à verifier ....