Bonsoir,

Les applications linéaires ne sont pas continues dans tous les cas, il faut qu'elles soient bornées sur la boule unité (ce qui est le cas en dimension finie).

Et du coup est constante et par conséquent . Ce qui montre que si une application linéaire est continue alors elle est infiniment différentiable et donc .

Schtromphmol

    Une des notations utilisées  pour désigner la différentielle de f en un point  est f '(x) . Il y a aussi Df(x) et les anciennes d_xf , df(x) .

Si f est linéaire et continue  , pour tout x on a f '(x) = f  et on retrouve que f ' est dérivable de dérivée nulle puisque f ' est constante  .

La dérivée de f ' peut être notée f "  mais , si f n'est pas linéaire , faut voir où elle arrive ..

Bonjour etniopal,

C'est marrant je n'avais jamais noté la différentielle comme ça. Cependant je me demande si cette notation n'est pas source de confusion pour naforitooo.

Je n'ai jamais vu la notation pour désigner une différentielle. Je comprendrais qu'on l'utilise dans un contexte très abstrait où ça ne pourrait pas être autre chose, mais dans ce cas et surtout dans le cas où on enseigne je trouve cette notation particulièrement maladroite.

Notamment, pour une fonction dérivable, on aimerait écrire quelque chose comme

et certainement pas qui rendrait confus au moins un élève sur deux.

Pour revenir sur le fond, effectivement une application est linéaire est de classe si et seulement si elle est continue.