salut

peut-être une récurrence en posant :

.......... ou

Merci.

as-tu remarqué que mes deux propositions conviennent ?

de rien

Bonjour,
Je suggère un autre cheminement qui me semble possible :
7² -1 [10] . D'où 7⁴ 1 [10] .

On peut donc commencer par s'intéresser à 7 puis à 7⁷ modulo 4.

J'ai essayé :

  
Après je ne vois rien d'autre.
Pardon.
C'est l'exercice qui m'a posé des problèmes.
Merci encore.

Quelle est la parité de ?

Et on peut utiliser "-1 [4]" au lieu de "3 [4]"

Il est impair .

Et toujours je n'arrive à appréhender ces étapes intermédiaires .
Et merci beaucoup.

7 -1 [4]
Donc si l'exposant n est impair alors 7ⁿ ??? [4]

Merci .
.

Je me demande est-ce-que j'ai le droit de considérer  l'exposant de la base 7 : (des puissances  successives de 7) est un n et impair donc et le représenter par cet entier impair et utiliser la propriété à ce cas.
Merci encore.

Donc mon problème comment devais -je conclure que la proposition  à démontrer est vraie à partir de ces congruences intermédiaires .
Et je peux leur ajouter  que :[tex]7^{7^{7^{7^{.^{.^{.}}}}}}\equiv 1[2].
Merci encore.

Bonjour et merci.
Il est congru à 3 modulo 10.

Oui, pourquoi ?

Deux nombres sont congrus  modulo un entier. Toute puissance égale aux deux nombres l'est aussi; l'inverse n'est pas vrai.

Quel rapport avec ?

Je reformule ta phrase :
Si deux nombres sont congrus modulo un entier alors les puissances de même exposant de ces deux nombres le sont aussi ; l'inverse n'est pas vrai.
Mais je ne vois pas le rapport avec .

.

10k'+3.  les 2 "k "sont différents.

Je ne vois toujours pas d'où sort le 10k'+3.
Je ne vais plus être disponible avant cet après midi.
Un indice : 7^4k+3 = (7⁴)^k7³

Merci.

Oui clair.

Bonjour,

  Je crois appréhender ce vous avez dit .
On a 7^7^7^7^....est un nombre impair que vous avez simplifier et le remplacer par n de N, donc n =4k+3 avec k appartenant à N aussi. On peut alors les considérer comme exposants égaux de puissances égaux mais pas n'importe qui mais de base 7 pour pouvoir passer à modulo 10.
7^n=7^(4k+3)  Or  d'après ce qui précède 7^(4k+3) est congru à 3 modulo 10 par transitivité 7^7^7^...est congru 3 modulo 10
aussi.
Merci  encore.

Bonjour.  

[10].
  
   Alors  
Donc   aussi avec n impair .

On peut passer par

qui est congru à 3 modulo 4 .

D'accord pour la justification de "7^(4k+3) est congru à 3 modulo 10".
Après, l'histoire de n pair ne convient pas à ce niveau car il y a des puissances impaires de 7 qui ne sont pas congrues à 3 modulo 10.
Exemple : 7⁵.

Il faut rappeler que l'exposant de 7 est de la forme 4k+3.
Pourquoi, au fait ? (Ça a été démontré plus haut ; retrouve quand)

Messages croisés. OK.

Merci beaucoup de votre patience.

n impair  et remplace la puissance longue donnée dans la question.

Bon, alors depuis le début, ce "chaque exposant est à la puissance de 7 indéfiniment" me dérange.
Parler de avec une infinité de 7 n'a pas de sens.
Je préfère cette présentation inspirée par le message de carpediem :
et
Il s'agit alors de démontrer que si .
On peut le faire en trois étapes à bien séparer :
1) Pour tout n de on a u_n impair et u_n 7.
2) Pour tout n de on a .
3) Utiliser et pour conclure.

Il y a peut-être plus simple ?

La condition u_n 7 me semble inutile.