Niveau Préparation CRPE

La continuité

Posté par
bouchaib 21-08-25 à 23:13

Bonsoir,

f(x)= $\frac{1-\sqrt x}{x^2+x-2}$
1. Déterminer son domaine de définition.
2. a. Montrer que :

$\forall x \in D), f(x)=\frac{-1}{(x+2)(1+\sqrt x)}$ .
b. Déduire donc la limite  de f(x) au voisinage de  plus l'infini. Interpréter géométriquement le résultat.

3. Soit la fonction h définie sur $[0; +\infty[$ par :

   $\left\{h(x) = f(x); x \in ]1;+\infty[ \right\}  et   \left \{h(x)=2mx +(5/6) ; x\in [0;1]/ m\in R^*\right\}$ .
a.  Montrer que la fonction h est continue sur ]1;+ infini[.
b. Déterminer la valeur de m pour laquelle h est continue en 1.

Réponses :

Pour 1 et 2 pas de soucis.

Pour  3. a.  Sur $]1;+\infty[,$ On a

$h(x)=f(x)=\frac{-1}{(x+2)(1+\sqrt x)}$ ,  quotient de 2 fonctions :

h₁(x)=-1= constante donc elle est continue sur R et en particulier sur ]1; + infini [,

h₂(x) produit de 2 fonctions continues sur ]1;+infini [

donc h(x)=h₁(x)/h₂(x) , définie sur ]1; +infini [ est continue sur ]1;+infini [.

b.  h est continue en1

$\Leftrightarrow \lim_{1^-}h(x)=\lim_{1^+}h(x) \\ \\ \Leftrightarrow 2m+5/6 =\frac{-1}{6} \\ \\ \Rightarrow m=-1/2$ .
Merci de me corriger.

Posté par re : La continuité 22-08-25 à 00:07

Bonjour.
Pour la a. et donc la continuité il te manque quelque chose d'important: h1 et h2 continue ne suffit pas à dire que h1/h2 continue. Il te manque un argument sur h2.
Pour la b. il te manque juste dans la rédaction lim en 1- = lim en 1+ = valeur en 1 c'est à dire h(1) même si ici h(1) vaut évidemment sa limite en 1-

Posté par re : La continuité 22-08-25 à 01:23

Merci beaucoup.
Il m'a fallu dire aussi que h₂(x) ne s'annule pas sur ]1; + infini [.

Merci encore .

Posté par re : La continuité 22-08-25 à 22:06

Bonsoir ,
Est-ce bon pour moi ?
Merci encore.

Posté par re : La continuité 23-08-25 à 00:14

Bonsoir, oui il manquait que h2 ne s'annule pas.

Posté par re : La continuité 23-08-25 à 00:15

Je vous en remercie beaucoup.