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La continuité et les suites
Bonsoir,
Je bloque sur une petite question de math, je vous en serais éternellement reconnaissant si vous m'apportez votre aide
Enoncé :
Pour tout n de N* on considère fn une fonction définie par :
fn(x)=xn+9x2-4
1/Montrer que pour tout n de N*, il existe une solution unique () appartenant à R+* tel que f(
)=0
2/ En déduire que 0<<2/3
En effet, je sais qu'il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, mais d'habitude je l'applique sur un intervalle de forme ]a;b[, donc c'est plutôt évident pour les images , mais pour l'infini je bloque un peu, et je ne sais pas comment l'effectuer.
Merci infiniment pour votre aide
Et pour 2), tu remplaceras le calcul de fn(1) par le calcul d'un certain fn(x), valeur de x à choisir subtilement selon l'énoncé.
Tu peux d'ailleurs même commencer directement par cette subtile valeur pour le 1)...
LeHibou
Et pour 2), tu remplaceras le calcul de fn(1) par le calcul d'un certain fn(x), valeur de x à choisir subtilement selon l'énoncé.
Tu peux d'ailleurs même commencer directement par cette subtile valeur pour le 1)...
Merci pour votre aide !!!
Donc quand j'aurais appliqué le T.V.I sur l'intervalle ]0,1[ il me suffira de dire que ]0,1[ est inclu dans ]0,+oo[, et en déduire....
Cependant pour la subtilité j'ai essayé en vain de comprendre comment la trouver, pouvez être plus clair ?
Merci encore !!!
Effectivement, l'existence te sera assurée sur ]0 ; 1[ par le TVI, et l'unicité par la monotonie sur 
+
Quand à la subtilité, elle se déduit immédiatement de l'énoncé de la question 2) 
Tu veux montrer que 
est compris entre 0 et quelle valeur ??? Ça devrait te donner envie de tester ce qui se passe en cette valeur
Je dis que pour = 2/3; fn(2/3)
2/3
donc f(2/3) f(
)=0
puis j'en déduis.
est ce la bonne façon d'écrire ?
Non, pas vraiment, car c'est faux.
La valeur "subtile" c'est bien 2/3, mais en 2/3 tu as :
fn(2/3) = (2/3)n
Si tu connais bien ton cours, tu dois savoir que, pour n entier > 1, tu as :
0 < (2/3)n < 2/3 (et non pas 
2/3 comme tu l'as écrit)
Ce que tu dois en fait écrire c'est :
fn(0) < 0
fn(2/3) = (2/3)n > 0
Donc le TVI s'applique sur en fait l'intervalle ]0 ; 2/3[, ce qui est plus précis que l'intervalle ]0 ; 1[ utilisé à la question 1), et ce qui donne le résultat attendu à la question 2).
Ceci dit, tu peux répondre aussi à la question 1) avec ce même raisonnement, et éviter toute référence à l'intervalle ]0 ; 1[ qui n'était là que pour dégrossir le problème.
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