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Niveau Maths sup
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La convergence dominée

Posté par
samad
08-07-19 à 14:44

bonjour à tous

des indications pour cette qustion:

Peut on montrer que:

 \\ \int_{0}^{+\infty}\dfrac{e^{-2x}-e{-x}}{x}dx=-ln(2)
 \\
en utilisant le théorème de la convergence dominée?\\
Moi je me bloque sur le fait
de trouver une fonction g intégrable sur 
 \\ ]0,+\infty[
 \\
et qui majore les sommes partielles de la série

 \\ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!}x^{n-1}e^{-x}
 \\
c.à.dire :

 \\ \forall x \in \mathbb{R}~~\forall n \in \mathbb{N}^{*} :~~\vert\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!}x^{k-1}e^{-x}\vert \leq f(x)
 \\   

merci de votre aide

Posté par
samad
re : La convergence dominée 08-07-19 à 14:52

dans la dernière ligne je devrai écrire

 \\ \forall x \in ]0,+\infty[
 \\

Posté par
jsvdb
re : La convergence dominée 08-07-19 à 16:47

Bonjour samad.
Cette intégrale se traite en deux lignes par l'exponentielle intégrale.
D'où vient alors que tu poses la question de savoir si on peut le faire par convergence dominée ? Recherche personnelle ? Exercice ?

Posté par
samad
re : La convergence dominée 08-07-19 à 16:56

Bonjour jsvdb

en effet c'est une question personnelle car si j'interverti les signes

 \\ \int_{0}^{+\infty}~~et~~\sum_{n=1}^{+\infty}
 \\
je trouve la valeur voulue

Posté par
jsvdb
re : La convergence dominée 08-07-19 à 17:14

Okay, dans ce cas , que penses-tu de la fonction définie sur \R_+ par :

g(x) = \begin{cases}\dfrac{e^{-x}-1}{x} & \text{ si } x> 0 \\ -1 & \text{ si } x=0  \end{cases}

Puis de la fonction f : x \mapsto e^{-x}g(x)

Posté par
samad
re : La convergence dominée 08-07-19 à 20:05

merci

salut  jsvdb
D'abord ta fonction  f est négative. Il faut prendre -f.
Encore je n'arrive pas à démntrer que :

 \\ \large
 \\ \forall x \in \mathbb{R}~~\forall n \in \mathbb{N}^{*} :~~
 \\  \vert\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!}x^{k-1}e^{-x}\vert \leq \frac{e^{-x}(1-e^{-x})}{x}
 \\
meme si ça parait vraie dans Geogebra

Posté par
jsvdb
re : La convergence dominée 08-07-19 à 20:19

Et si tu essayais l'inégalité triangulaire sur les sommes partielles ...

Posté par
samad
re : La convergence dominée 08-07-19 à 20:22

Ah désolé
Geogabra montre que la différence des deux membres oscille entre des
valeurs positives et négatives infiniment petites.
Donc la fonction f ne marche pas !

Posté par
jsvdb
re : La convergence dominée 08-07-19 à 20:24

Non, mais on s'en moque de GeoGebra ...

Posté par
jsvdb
re : La convergence dominée 08-07-19 à 20:24

... on fait de l'analyse, pas du graphique.

Posté par
jandri Correcteur
re : La convergence dominée 09-07-19 à 11:37

Bonjour samad,

je ne vois pas non plus comment dominer les sommes partielles de la série par une fonction intégrable (celle proposée par jsvdb ne convient pas).

Mais pourquoi vouloir absolument utiliser le théorème de CV dominée?
Pour cet exercice il est plus élémentaire de montrer directement que l'intégrale du reste de la série tend vers 0 en majorant sa valeur absolue et en utilisant la formule de Taylor avec reste intégral pour majorer le reste du développement en série de e^{-x}.

Posté par
astroq123
re : La convergence dominée 09-07-19 à 15:47

On peut appliquer le théorème de Fubini-Tonelli à e^{-xy} et d'intégrer sur ]0;+\infty[ \times ]1;2[

Posté par
jsvdb
re : La convergence dominée 09-07-19 à 15:51

Quel est le rapport ?

Posté par
jsvdb
re : La convergence dominée 09-07-19 à 23:29

samad @ 08-07-2019 à 20:05

Encore je n'arrive pas à démontrer que :

\large \forall x \in \mathbb{R}~~\forall n \in \mathbb{N}^{*} :~ \vert\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!}x^{k-1}e^{-x}\vert \leq \frac{e^{-x}(1-e^{-x})}{x}


samad @ 08-07-2019 à 20:22

Geogabra montre que la différence des deux membres oscille entre des valeurs positives et négatives infiniment petites. Donc la fonction f ne marche pas !


Et si tout simplement :

\large \forall x >1~~\forall n \in \mathbb{N}^{*} :~ \vert\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!}x^{k-1}e^{-x}\vert \leq e^{-x}(1-e^{-x})

Posté par
Zrun
re : La convergence dominée 10-07-19 à 12:16

Pour calculer l'intégrale, il suffit de la couper en deux ... Je vois pas pourquoi on veux à tous prix passer par une série de fonctions



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