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Niveau algorithmique
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La definition de la multiplication

Posté par
Rexe
08-04-20 à 12:56

Bonjour
on dit que 5×3=5+5+5
Et que 3×5 =3+3+3+3+3
Mais dans le cas de 0.5×3
On a 0.5 ×3=0.5+0.5+0.5
Mais qu'est ce qu'on écrit comme somme dans le cas opposé
3×0.5=?

On effet,  ce que vraiment savoir c'est la définition de la multiplication
Et pourquoi elle est commutative
Et s'il vous plaît donner une explication logique et des exemples de la réalité et éviter le
Langage mathématique très compliqué , je suis au terminal maintenant.
Et merci
Et disez ou il faut poster ce sujet si j'ai mal choisi

Posté par
carpediem
re : La definition de la multiplication 08-04-20 à 13:03

salut

dès que tu introduis le nombre 0,5 tu introduis la division (opération inverse de la multiplication) et donc aussi l'inverse d'un nombre

car 0,5 est le nombre qui donne 1 quand on le multiplie par 2

donc 3 \times 0,5 = 3 \times \dfrac 1 2 = \dfrac 3 2 \times 1 = \dfrac 3 2 = 1,5

...

quant aux propriétés des opérations elles se constatent (et s'acceptent) tout d'abord au lycée et se comprennent et se pensent quand les structures de groupe, anneau et corps se voient en post-bac ...

Posté par
Rexe
re : La definition de la multiplication 08-04-20 à 14:08

Salut pour un nouveau sujet
J'ai pas compris bien ta réponse , tu a parlé de 0.5 comme étant 1/2
Mais  tu n'as pas poser
3×0.5 comme étant une somme
Tu as dit  les propriété de la multiplication sont acceptables,  
Vraiment je les acceptent dans l'ensemble N et Z
Mais dans R je ne peux pas même définir une multiplication  (car je ne peux pas écrire
Tous les opérations sous forme de somme par exemple 3×0.5)
C'est pourquoi j'ai demandé la définition , ou bien si tu veux dire que je ne peux comprendre qu'au niveau supérieur , je veux bien entendre l'explication comme même
Et je sais c'est quoi une LCI, un groupe ,un sous groupe et je verra les anneaux et les corps
Peut mes informations ne sont pas suffisantes mais je veux comprendre

Posté par
carpediem
re : La definition de la multiplication 08-04-20 à 15:00

ben une somme de un terme c'est le terme !!!

donc 3 * 1 = 3 tout comme (3/2) * 1 = 3/2 ...

Citation :
C'est pourquoi j'ai demandé la définition , ou bien si tu veux dire que je ne peux comprendre qu'au niveau supérieur , je veux bien entendre l'explication comme même
Et je sais c'est quoi une LCI, un groupe ,un sous groupe et je verra les anneaux et les corps
alors tu as les informations pour répondre à ta questions en allant voir ce que sont un anneau et un corps ...

Posté par
weierstrass
re : La definition de la multiplication 08-04-20 à 15:09

Même si c'est la définition que tu as apprises, la propriété d'addition n'est pas en réalité ce qui définit la multiplication. On peut toujours ramener ce genre de calcul avec des rationnels à une somme , par exemple, 3\times0,5 = 3\times \dfrac{5}{10} = \dfrac{3\times 5}{10}  = \dfrac{3 + 3 + 3 + 3 + 3}{10} = \dfrac{15}{10} = 1,5 mais c'est plus une propriété qu'une définition.
En réalité, pour te donner la vraie définition d'une multiplication, on est obliger d'utiliser des mathématiques plus compliquées (celles citées par carpediem). Concrètement, les notions d'addition, de multiplication et d'inverse sont définies avant celle de rationnels ou de nombres réels, et les rationnels et les réels sont définis à partir de ces opérations. Mais pour comprendre ces notions là, il faut des outils mathématiques un peu plus développés.
En attendant, définir le produit  de \dfrac{p}{q} et \dfrac{p'}{q'}  par \dfrac{pp'}{qq'}  et admettre que la multiplication est associative, commutative et distributive par rapport à l'addition devrait te suffire, chaque apprentissage en son temps...

Posté par
Rexe
re : La definition de la multiplication 08-04-20 à 15:56

Pour toi carpediem, je sais ce que tu a fait mais c'est pas ce que j'ai demandé
J'ai voulu seulement savoir 3 ×0.5 est ce qu'on peut la représenter sous forme de
Somme (comme l'exemple que j'ai cité avant ) et j'ai voulu savoir sa définition .
Pour toi welerstrass , je t'ai compris mais j'ai quelques petites questions si c'est possible
-C'est quoi la différence entre propriété et définition, car je pense qu'il y a une sorte de définition mathématiques à ces notions là
-En disant des "outils mathématiques plus compliqué " est ce que tu parles des structures
(Anneau, corps, groupe...) car si ceci je pense que je peux essayer de comprendre
Même si tu peux me répondre avec des moyens supérieures je veux entendre
Car je ne sens pas bien quand je résous un problème d'intégral ou de trigonométrie et je ne sais pas comment définir la multiplication
Je sais qu'il faut attendre, est ce que tu as défini à la fin c'est ce que je dois faire
Mais. ..je veux savoir

Posté par
carpediem
re : La definition de la multiplication 08-04-20 à 17:55

alors tu n'as rien compris ...

j'ai remplacé 0,5 par 1/2 et fait une somme de un terme (qui est donc égal au terme)

weierstrass remplace 0,5 par 5/10 et fait une somme de cinq termes

et si tu veux je remplace 0,5 par 2/4 et je fais une somme de deux termes : 3 * 0,5 = 3 * (2/4) = (3 * 2)/4 = (3 + 3)/4 = 1,5


je te l'ai dit et je te le répète !!! quand tu introduis des nombres décimaux tu ne travailles donc plus avec des entiers et tu introduis la division

...

Posté par
Rexe
re : La definition de la multiplication 08-04-20 à 18:50

D'accord,
J'ai pas pu constaté ton idée du premier exemple , mais maintenant quand tu a posé la somme je t'ai compris .
Mais encore une fois,  est ce que je peux avoir la définition de la multiplication et la preuve de ses propriétés  (commutativité, associativité. ..)

Posté par
weierstrass
re : La definition de la multiplication 09-04-20 à 18:49

Je vais essayer de te donner une vision d'ensemble de l'ordre dans lequel on définit les choses (en essayant de pas trop rentrer dans les détails et tout en essayant de ne pas faire d'erreur)

Je m'aperçois que tu sais déjà ce que sont LCI, groupe et sous groupe
Tu dois commencer à t'apercevoir qu'en maths, on commence souvent par définir des structures sur des ensembles, en les définissant par les opérations autorisées et les règles régissant ses opérations et sans parler de ce que sont ces éléments de l'ensemble.
Par exemple, si E est un ensemble:
les groupes sur E sont définis comme ayant une opération (une LCI) et cette opération est dotée de propriétés (associativité, symétrie).
La seule chose imposée aux éléments de l'ensemble est l'existence d'un élément neutre. Cette LCI peut être vue comme une addition, même s'il lui manque beaucoup des propriétés de l'addition sur les entiers.

De même, on définit un anneau sur E comme ayant deux LCI. Une
La première LCI vérifie les même propriétés que celle des groupes, avec en plus la commutativité. La propriété de symétrie devient l'existence d'un opposé pour tout élément de E. On a donc l'existence d'une soustraction.
La deuxième LCI vérifie l'associativité, et la distributivité par rapport à la première LCI.
Les seules conditions portant sur les éléments de l'ensemble sont l'existence d'éléments neutre pour les deux LCI.
La première LCI est généralement considérée comme étant une addition, et la deuxième LCI comme une multiplication.

La multiplication n'est pas forcément commutative (par exemple dans le cas des entiers.

On peut ainsi définir de nombreuses structures très différentes, en citant leur propriétés. On peut notamment citer les corps, qui sont des anneaux, mais avec l'existence d'inverse pour la multiplication (on a donc une division)

Donc en soit, la multiplication est toujours définie de cette manière,  et selon les cas elle n'a pas toujours les même propriétés (elle peut être commutative ou non...). En fait, il n'existe pas réellement d'objet mathématique définit comme étant la multiplication dans le cas général. C'est juste un nom que l'on donne à certaines opérations que l'on a définie, quand leur propriété se rapprochent de ce que l'on pourrait qualifier une multiplication.

En réalité, la vraie difficulté, c'est de définir ce qu'est un entier, un rationnel, un réel...
et même si ça peut paraître des objets mathématiques assez évident au premier abords, il n'en est rien.
Je n'entrerais pas dans tout les détails pour t' expliquer les définitions exactes mais voici l'idée:
Une manière de définir les entiers naturels axiomatiquement est de dire qu'il existe un entier appelé 0, et on dit que chaque entier possède un successeur -- et il ne reste plus qu'à donner un donner un nom à chacun de ses successeurs )  (voir axiomatisation de Peano pour une définition plus rigoureuse , les entiers sont définis par les 3 premiers axiomes)
On peut implémenter cette définition en construisant les entiers. On peut par exemple définir les entiers par des ensembles (Pour quelque chose de plus rigoureux, tu peux regarder construction de Von_Neumann ou axiome de l'infini ) Cette définition est utilisée en théorie des ensembles, où tout les objets mathématiques sont définis par des ensembles (mais je ne vais pas entrer plus dans le détail)
Une autre construction plus simple (mais moins générale est donnée par Zermelo) en anglais :

On voit que l'on a besoin ni d'addition, ni de multiplication pour définir les entiers. En effet, sans que l'addition et la multiplication existe, l'existence des entiers à un sens. On peut tout de même définir l'addition et la multiplication pour les entiers.

A partir de l'une des définitions données, définir l'addition n'est pas si simple, il faut procéder par récurrence. (voir pour une définition précise).
Une fois l'addition définie, la multiplication pour les entiers se définit simplement à partir de l'addition (avec un récurrence aussi quand même, mais tu as déjà du voir ça).

De manière similaire, on peut définir les entiers relatifs et définir leur addition et leur multiplication.

En revanche, l'existence des rationnels et des réels est vraiment dépendante de la notion de multiplication. En effet, on les définit axiomatiquement à partir de leur structure (par exemple, les réels sont définis comme l'unique corps archimédien totalement ordonné et les rationnels comme le plus petit corps commutatif contenant les entiers -- il y a d'autre moyen de les caractériser). Dans les deux cas, la structure fait intervenir deux LCI, que l'on définit comme étant l'addition et la multiplication (mais elle font partie intégrante de la structure)

Toutefois, comme les entiers naturels admettaient diverses constructions à partir des axiomes de Peano, les rationnels et les réels peuvent être construits (et addition et multiplication sont définies ensuite pour montrer que la construction vérifie bien la structure recherchée)

La construction des rationnels est assez compliquée :
On définit le nombre rationnel pq comme étant l'ensemble des paires (a,b) telle que pa = bq (la multiplication ici étant celle des entiers. (voir )
La dessus, on peut ensuite définir l'addition et la multiplication comme tu l'as déjà vue.

Une autre manière de définir les rationnels est de dire qu'il s'agit du  Dans cet définition, on définit les rationnels par la structure qui les unis de manière unique

La définition la plus compliquée est celle des réels.
Il y a diverses constructions que tu peux trouver à cette page , mais je n'entrerais pas dans les détails)

Je ne sais pas à quel point je te parle chinois dans tout ce message, mais ça te donne au moins une idée de ce qui se passe (et de la complexité de définir précisément les mathématiques)

Posté par
Kernelpanic
re : La definition de la multiplication 10-04-20 à 07:41

Bonjour,

je rajoute une couche en te proposant le livre "Numbers" de Heinz-Dieter Ebbinghaus et "sa bande". On peut y voir une idée de construction des entiers naturels, entiers relatifs, rationnels, réels, complexes etc etc... avec en prime des structures un peu plus exotiques où existent des nombres infiniments grands. Si je me souviens bien, on y explique la commutativité (j'espère que je me trompe pas)...

Posté par
Rexe
re : La definition de la multiplication 10-04-20 à 13:47

Merci infinement welerstrass ,pour ton Temps et pour ton explication et les références
J'ai commencé à lire mais je vois que tu a utilisé des notions
Que j'ai pas encore aquis parfaitement  (anneau, corps,théorie des ensembles ...)
Je vais faire une rechrecherche et une analyse de ce que tu as dit .
Tu as aussi parler de la définition des  nombres, donc peut être je trouvera réponse
À d'autre questions  (des questions comme c'est quoi  racine de 2 , pourquoi 0.99999...=1
Que représente un nombre négatif , un nombre décimal,  c'est quoi une division décimal. .)
Mais ça prendra du Temps,  et puisque j'ai un national cela va bien se retarder
Et je sais que c'est pas conseillé de se profondire mais il faut savoir comme même
Merci à ton ajout kernelpanic
J'ai toujours voulu des livres de ce type mais j'ai jamais su quoi rechercher exactement
Car j'ai jamais su comment exprimer mes questions
Alors si j'arrive à quelques choses c'est grâce à vous.

Posté par
weierstrass
re : La definition de la multiplication 11-04-20 à 20:44

Ces nouvelles questions sont déjà beaucoup plus abordables

Qu'est ce que le nombre négatif ? Tous les objets mathématiques reposent de base sur une intuition rencontrée dans le monde non abstrait, et que l'on cherche à rendre abstrait. De manière pratique, tu sais sans doute déjà ce que représente un nombre négatif, puisque tu les utilises couramment : une température négative, parce que l'on veut mesurer en dessous d'une référence (0 degrés celsius) , une distance parcourue négative parce que l'on a reculé...). On a besoin de faire des calculs avec ces notions de nombre négatifs dans le monde réel, il faut donc essayer de trouver une définition mathématique qui réponde à ce besoin.
D'un autre côté, on s'aperçoit qu'après avoir défini les nombres négatifs, ils simplifient beaucoup de calculs, même là où on aurait penser s'en passer.

La première motivation pour créer les nombres entiers naturels est d'avoir un ensemble que l'on peut compter, et qui est infini. On sait qu'il existe plusieurs ensembles de ce type (entiers naturels, entiers relatifs,  entiers rationnels aussi mais c'est moins évident... voir la notion d'ensemble dénombrables).
Une autre propriété que l'on attend des entiers naturels est qu'il n'existe aucune valeur plus petite que 0, et que l'on puisse ordonné tout les entier (0 < 1 < 2 < 3 ...)
Les entiers naturels ont  été conçus pour respecter ces propriétés (même si ce n'est pas le seul ensemble les vérifiant (ordinaux), mais je ne vais pas trop entrer dans les détails). Les utilisations les plus simples des entiers naturels n'imposent à priori pas d'addition ni de multiplication (par exemple, compter les moutons dans deux troupeaux et savoir lequel est le plus peuplé).

Pour répondre au besoin de faire des additions, on a défini le groupe additif, et montré qu'en définissant une addition appropriée sur les entiers, on obtenait bien un demi  groupe additif.

On voit donc qu'on a deux motivations différentes (au moins) pour les entiers naturels, et qu'elles correspondent à deux constructions différente (même si le groupe additif s'appuie sur les entiers).

Pour revenir au entiers relatifs, on peut aussi distinguer deux motivations différentes :
L'idée d'avoir un infini comptable dans les deux directions, c'est à dire que l'on puisse toujours trouver un nombre plus petit que les autres. Par exemple, sur notre thermomètre, on voit pouvoir compter des températures aussi grande que l'on veut et aussi petite que l'on veut (même si l'on pourrait chipoter avec la découverte du 0K) . La encore, pas d'addition nécessaire, on a pas vraiment besoin d'additionner les températures).

L'autre motivation est de définir la soustraction sur les entiers naturels comme étant l'inverse de l'addition, si a - b est défini comme l'unique entier c, s'il existe, tel que b + c = a. On peut prouver l'unicité. Le problème est l'existence, que l'on n'a pas. L'intérêt de définir le groupe additif Z est qu'il permet de définir une soustraction sur tout les entiers, tout en possédant une structure intéressante. Z est ainsi le plus petit ensemble contenant les entiers à avoir la soustraction comme LCI. Par exemple, dans l'exemple des distances négatives, la motivation était de pouvoir résumer tout les calculs de distance en terme d'addition, sans distinguer la direction dans laquelle elle étaient parcourues. La notion d'entiers relatifs permet d'unifier ça.

C'est la même chose pour les rationnels et les réels, je ne vais pas autant détailler. Les rationnels correspondent  à des phénomènes précis du monde réel (partage de pizza, probabilité sur un ensemble fini...) qui motivent à leur donner une définition mathématique. Une motivation plus mathématique est la même que celle qui poussait à définir les entiers relatifs pour compléter la soustraction des entiers, sauf qu'ici, on cherche les plus petit ensemble complétant la division.

Les réels ont aussi de nombreuses interprétations réelle, par exemple, sur un thermomètre, on ne veut pas seulement les températures entières, mais pouvoir mesurer aussi finement que possible tout le spectre entre les deux. Une possibilité de modéliser cette propriété est de trouver un ensemble tel qu'entre deux éléments de l'ensemble, on puisse toujours en trouver un autre. Cependant, pas besoin des réels pour ça, les rationnels suffisent (et peuvent tout approximer aussi finement qu'on le veut). Cependant, on peut imposer plus, comme la caractérisation des comportements limites de suites de rationnels. Par exemple, on cherche à caractériser vers  quoi tends 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 ...  On peut trouver de nombreuses fractions qui approximent bien cette somme, mais si on doit la définir par un objet mathématique, là, on a besoin des réels...

racine de 2 peut être défini comme l'unique solution positive de x^2 = 2. On peut montrer qu'il n'y a pas de solutions dans les nombres entiers ni dans les nombres rationnels, mais qu'il y en a une unique dans les nombres réels.
Comme les entiers relatifs avaient été créé pour compléter la soustraction, et les rationnels pour compléter la division, on peut créer les nombres algébriques pour compléter les solutions d'équations polynomiales.

La définition d'une écriture décimale (donnée par une suite de décimale) est que x.d_1d_2d_3d_4... est la limite de la suite de nombres décimaux x.d_1 , x.d_1d_2 , x.d_1d_2d_3 , x.d_1d_2d_3d_4.
Du coup, par définition, 0.99999... est la limite de la suite 0.9 , 0.99, 0.999 , 0.9999
intuitivement, on voit bien que ça semble se rapprocher de1. Pour le prouver rigoureusement, on peut utiliser le fait que cette suite est la suite u_n = \sum_{i=1}^n 9\times10^{-n} = 9\times\dfrac{1/10-10^{-n-1}{1-1/10} = 1 - 10^{-n} (en utilisant les résultats de suite géométrique)
Si on a montré que toutes les suites de ce type tendaient vers un réel, on peut utiliser une astuce de calcul consistant à poser s = 0.999999...
Il est alors facile de voir que 10s - s = 9, soit s = 1.
Il n'y a pas de paradoxe à avoir différentes écriture pour un même nombre, c'est lié à la définition de l'écriture décimale. Ainsi, un théorème montre que tout les nombres décimaux on deux écriture possible (une qui se finit, et une avec une infinité de 9), et que tout les autres réels ont une unique écriture décimale.

La division décimale se définit comme les autres divisions. On définit c = a/b l'unique valeur telle que b*c = a. On peut poser une telle opération dès que l'on sait l'unicité de la solution et l'existence.  Donc c'est basiquement la même définition pour la division rationnelle que pour la division réelle.

Ne te lance pas tête baissée dans tout les trucs que je t'ai posté dans mon précédent message, beaucoup de notions sont pour l'instant hors de portée de ton niveau. Je voulais simplement te brosser un portrait de l'ordre dans lequel sont définis les choses. Prends le temps de d'abord travailler tes cours, tu verras chaque notion en son temps, et si tu es très curieux, tu peux regarder les notions de corps et d'anneaux pour t'avancer. Si tu as compris l'idée d'un groupe, ça devrait pas être trop dur de comprendre ça.

La théorie des ensembles est vraiment compliquée, c'est une théorie qui donne un moyen de construire toutes les maths actuelles (en partant du principe que tout les objets mathématiques peuvent être définis comme des ensembles), tu peux regarder vite fait comment ça fonctionne, mais tu risques sans doute d'être assez vite dépassé.

Posté par
weierstrass
re : La definition de la multiplication 11-04-20 à 20:48

Zut, je corrige mon latex...
Cette suite est la suite u_n = \sum_{i=1}^n 9\times10^{-i} = 9\times\dfrac{1/10-10^{-n-1}}{1-1/10} = 1 - 10^{-n} (obtenu à partir des résultats sur les suites géométriques). On voit alors bien que ça converge vers 1.

Posté par
Rexe
re : La definition de la multiplication 11-04-20 à 21:23

Je te remercie de nouveau  infiniment pour ces nouveaux réponses .
J'ai jamais eu le courage de les questionné car je sais que personne ne me répondra
Et j'ai pas eu l'intention de les poser  donc j'ai pas bien expliqué ce que je veux savoir  (j'ai voulu savoir d'ou vient la méthode de la division décimal qu'on appliquait , je parle de faire un tableau et poser le diviseur et le dividende et on fait nos étapes , je pense que c'est facile de le prouver puisque je sais maintenant c'est quoi un système de numération )
Et je vais faire ma recherche juste par curiosité,  mais je vais sûrement accorder la priorité aux cours.
Et Merci encore une fois .

Posté par
weierstrass
re : La definition de la multiplication 12-04-20 à 10:26

Prenons comme exemple 758/17

La première étape : On prend le petit nombre à gauche supérieur à 17 : ici 75
75 = 17*4 + 7
On écrit 4, on descend 7 et on continue la division avec 78

Que s'est il passé?
Posons a = 75, b = 8, c = 17
Soit n la taille de b (ici 1)
\overline{ab} = a\times 10^{n} + b (principe de l'écriture décimale
On effectue la division euclidienne de a par c
a = qc+r avec q = 4,
a\times 10^{n} + b =  (qc+r)\times 10^n + b = qc\times 10^n + r\times 10^n+b
Si on divise maintenant par c:
q\times 10^n + \dfrac{r\times 10^n+b}{c}
On poursuit ensuite le raisonnement, en diminuant à chaque fois l'exposant de 10 de 1.
Ca nous donne une suite q_1, q_2, q_3, ... avec q = q1 telle qu'à chaque étape, et les suites associées r_1, r_2, r_3, ... et b_1, b_2, b_3, ...    (r = r1 et b = b1).
On a :
a\times 10^{n} + b = q_1c\times 10^{n} +r_1\times 10^n+b_1 = q_1c\times 10^{n} + q_2c\times 10^{n-1} + r_2\times 10^{n-1}+b_2 = ... = q_1c\times 10^{n} + q_2c\times 10^{n-1} + q_3c\times 10^{n-2} + ... + q_{n+1}c + r_{n+1} avec {r_{n+1} < c.
On peut éventuellement continuer la division en utilisant les exposants négatifs pour trouver la suite du développement décimal.
Ca commence à ressembler à quelque chose de pas mal, reste à vérifier que tout les quotients sont entre 0 et b-1.
Quand on commence la i-ème étape, on veut calculer  \dfrac{r_i\times 10^{n-i+1}+b_i}{c}, on descend une décimale et on obtient  \dfrac{(10r_i + x)\times 10^{n-i}+b_{i+1}}{c}.
q_{i+1} sera donc le prochain quotient dela division euclidienne de 10r_i + x par c. Or on sait que r_i < c (car c'était le résultat d'une division euclidienne, donc 10r_i + c < 10c, donc q_i sera strictement inférieur à 10.
Ainsi, comme tout les q_i sont entre 0 et 9, q_1c\times 10^{n} + q_2c\times 10^{n-1} + q_3c\times 10^{n-2} + ... + q_{n+1}c + r_{n+1} correspond à l'écriture décimale de notre division...

Posté par
Rexe
re : La definition de la multiplication 13-04-20 à 19:39

Merci une troisième fois,  ton explication était bien simplifié
Ça demandé un peu de concentration   mais l'idée est clair
J'avais mois aussi la même idée mais j'ai pas pensé aux exposants négatif .
Alors merci,  et je pense que je posera bien d'autre question
Peut être plus abordable

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