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La Dichotomie

Posté par
Jaden
21-04-17 à 10:54

Bonjour j'aurais besoin d'aide pour un DM de mathématiques s'il vous plaît.

Sujet: Dichotomie

A.Etude de fonction
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x^3-3x^2+2.
1. Étudier le sens de variation de f.
2. À l'aide d'une calculatrice, conjecturer une solution exacte x0 de l'équation f(x)=0. Le démontrer.
3.Montrer qu'il existe deux autres solutions,une notée x1 entre -1 et 0 et l'autre, notée x2 entre2 et 3.

B.Un algorithme
On considère l'algorithme ci-dessous.

VARIABLES: a et b nombres
ENTRÉES: Saisir a et b avec a<b
TRAITEMENT:
Si f(b)Xf(a)<ou=0Alors
Tant que b-a>10^-15 Faire
Si f(a+b/2)Xf(a)<ou=0
Alors b prend la valeur a+b/2
Sinon a prend la valeur a+b/2
Fin Si
Fin tant que
Fin Si
SORTIES: Afficher a et b

1.À quelle condition sur f(a) et f(b) a t-on f(a)Xf(b)<ou=0?
2.On entre  pour a la valeur -1 et pour b la valeur 0.
a.La condition f(b)xf(a)<ou=0 est elle remplie?
b. calculer f(a+b/2) et en déduire le signe du produit f(a+b/2)f(a).
c.À l'issue du premier passage dans la boucle "Tant que...Fin tant que", quelles sont les valeurs contenues dans les variables a et b?
Comment se situe x1 par rapport à ces deux valeurs?
d.Reprendre la question c à l'issue du deuxième passage dans la boucle.
e. L'algorithme affiche -0.732055664062 pour a et -0.732048034668 pour b.
Qu'en déduit-on pour x1?
3.Programmer cet algorithme et déterminer un encadrement de x2.
4.À l'aide d'un logiciel de calcul formel, résoudre l'équation f(x)=0 et commenter les résultats.

J'ai déjà commencé ce DM Mais à partir de la question2.c de la deuxième partie je bloque. Aidez moi s'il vous plaît, je suis Dans la galère. Je vous envoie ce que j'ai déjà fais. Merci beaucoup d'avance.

A.Etude de fonction:
1.Calcule la dérivée: f'(x)=3x^2-6x
C'est une fonction polynôme du second degré donc : delta=b^2-4ac =24
On a 2 solutions: 3-racine de 6/3 et 3+ racine de 6/3
On dresse le tableau de variation : On a +|-|+ et croissant | décroissant | croissant
2.a l'aide de la calculatrice je peut conjecturer que f(0)=2
Démonstration:f(x)=0 f(0)=0^3-3X0^2+2 =2
Donc clara conjecture été vraie.
3.f(x)=(x-1)(x^2-2x-2)=x^3-2x^2-2x-x^2+2x+2=x^3-3x^2+2
Il y a 2 solutions à f(x)=0
xa : x-1=0 x=1
xb : x^2-2x-2=0
On fais delta pour xb et On trouve 12
Donc 2 solutions
x1=1- racine de 3
x2=1+ racine de 3
1- racine de 3 est bien compris entre -1 et 0
1+ racine de 3 est bien compris entre 2 et 3

B.Un algorithme:
1.Nous avons f(a)X(b)<ou=0 lorsque a<b.
2.a. Oui, la condition est remplie car on dois avoir a<b or ici c'est la cas -1<0.
b. f(a+b/2)=-1/2=-0.5
Étant donné que f(a+b)<0 et f(a)<0 car a=-1, le signe du produit f(a+b/2)f(a) est positif.

Voila après j'ai pas réussit à faire le reste. Merci de bien vouloir m'aider. Merci beaucoup .

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 11:35

bonjour,

je regarde tes réponses, et je reviens.

Posté par
Glapion Moderateur
re : La Dichotomie 21-04-17 à 11:36

Citation :
1.Nous avons f(a)X(b) < ou = 0 lorsque a < b


drôle de réponse.

non f(a)f(b) 0 si f(a) et f(b) ne sont pas de même signe donc en fait si la racine que l'on cherche est entre a et b (c'est pour ça que l'on teste ça, c'est pour cerner la racine entre a et b)

il faut comprendre le principe de la dichotomie.
on prends le point au milieu de [a;b]
on teste si la racine est entre a et (a+b)/2 (en testant le signe de f(a)f((a+b)/2) )
si oui on garde les deux bornes a et (a+b)/2 (en recalant b à (a+b)/2 )
si non on garde les deux bornes (a+b)/2 et b
on est donc sûr que la racine reste toujours entre a et b
et on recommence jusqu'à ce que l'intervalle [a;b] devienne plus petit que la précision que l'on s'est donné pour trouver la racine.

Posté par
fm_31
re : La Dichotomie 21-04-17 à 11:40

Bonjour ,

A-2) tu sembles avoir confondu   f(0)  avec ce qui est demandé  f(x) = 0

Cordialeent

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 11:50

partie A  

f'(x)= 3x² - 6x     ==> on est d'accord
quelles sont les valeurs de x qui annulent f'(x) ?
perso, je factorise f'(x)= 3x(x-2) = 0   ==> x = 0  et x=2

tu peux le considérer comme un polynôme du second degré  avec a=3, b=-6  et c=0
mais ton calcul de delta est faux (car tu as considéré c=1)
Ici b² - 4ac = 36 - 4*3*0  = 36
rectifie ce que tu as écrit pour trouver les bonnes racines.

le tableau de variations :
croissante, décroissante, croissante  on est d'accord.
f(0)=2  et f(2)=-2
q2 :
on te demande une valeur de x telle que f(x)=0
toi tu écris "f(0)=2  donc la conjecture est vraie.." tu vois que ça ne colle pas ?
il ne s'agit pas de f(0)  mais de f(x)=0 ..

quand x varie de 0 à 2, f(x) est strictement décroissante et continue, et f(0)>0 et f(2)<0
==> il existe une valeur de x comprise entre 0 et 2 telle que f(x)=0  (cf. théorème  des valeurs intermédiaires).

C'est ce même théorème que tu dois appliquer pour la q3.
rectifie le début,
on fera la Q3 ensemble.

Posté par
hekla
re : La Dichotomie 21-04-17 à 11:52

Bonjour

f(x)=x^3-3x^2+2 \quad f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)

le calcul de \Delta est faux car c=0 et non 1

f'(x)>0 si x< 0 ou si x>2

par conséquent sur \R^- ou sur ]2~;~+\infty[ la fonction f est strictement croissante

f'(x)<0 si 0<x<2 par conséquent sur ]0~;~2[ la fonction est strictement décroissante

pas besoin de calculatrice pour dire que f(0)=2 mais ce n'est pas la question

on veut une valeur  x_0 pour laquelle f(x_0)=0 on peut penser x_0=1

f(1)=1^3-3\times 1^2+2=0

3) on va pouvoir factoriser par (x-1)

f(x)=(x-1)(x^2-2x-2) discriminant de  x^2-2x-2\  \Delta= 12 x_1=1-\sqrt{3} \quad x_2=1+\sqrt{3}

partie B

f(a)\times f(b)\leqslant 0 si f(a)\leqslant 0 et f(b)\qeqslant 0  autrement dit si f(a) et f(b) sont de signes contraires ou  si f(a)<f(b) \quad 0\in[f(a)~;~f(b)]

corrigez ce que vous avez écrit

Posté par
hekla
re : La Dichotomie 21-04-17 à 11:54

Bonjour à tous

vu le monde, je me retire

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 12:03

Merci beaucoup Glapion .

Par contre je comprends toujours pas pour la question 2.c. On me demande les valeurs contenues dans les variables a et b . Je prends -1 et 0 Comme On me la dis plus haut ? Et du coup x1 se situe entre les 2 donc x1=-0.5 ??

Merci de votre réponse à l'avance.

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 12:18

Jaden,
as tu rectifié le début ?
tu as refait un tableau de variations ?

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 12:37

Oui c'est bon j'ai Tout refait jusqu'à la question 3. Je suis vraiment débile, c'est vraiment des fautes d'inattention. Merci beaucoup 😊

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 12:49

En faite a partir de la question B.2. Je croit que je me suis trompé, j'ai dis que la condition était remplie en disant que a<b Mais deja ce qu'on me demande c'est f(a) et f(b) donc je me suis trompé Mais je le trouve ou f(a) et f(b), je dois le faire à la calculatrice ???

Quand je fais le programme, cela me met
A=?-1
B=?0
                                     -8.8817842E-16
                                                                       0                           Done

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 12:52

les fautes d'inattention n'ont jamais prouvé la débilité ! rassure toi !

qu'as tu répondu à la question 3 de la partie A ?

Partie B :
1.À quelle condition sur f(a) et f(b) a t-on f(a) * f(b)<ou=0?

un produit de 2 facteurs est négatif quand les deux facteurs sont de signes contraires.
un produit de deux facteurs est nul quand l'un ou l'autre des facteurs est nul.

2.On entre  pour a la valeur -1 et pour b la valeur 0.
f(a) = f(-1) = ??
f(b)=f(0) = ??
a.La condition f(b)xf(a)<ou=0 est elle remplie?
??

b. calculer f(a+b/2) et en déduire le signe du produit f(a+b/2)f(a).
(a+b)/2 = -0.5  c'est juste,  mais f(-0.5) = ???

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 12:53

"Mais je le trouve ou f(a) et f(b), je dois le faire à la calculatrice ??? "

f(x) = x^3 - 3x² +2
f(-1) = ?
f(0) = ?

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 12:55

A ok merci 🙏

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 12:58

Partie À:OK

Partie B:
1. J'ai dis que f(a) et f(b) devais avoir des signes contraires. (J'ai résumé Parce que j'ai fais de plus Belle phrase, Mais c'est pour faire bref)

2.a. Je dois faire comme vous m'avais dis Avec le calcul

b. Le signe sera positif car on aura 2 signes - donc - et -  =+

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 13:00

Pour f(-1) j'ai trouver -2 et f(0) =2

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 13:04

f(-1)=-2  et f(0)=2     donc ils sont de signes contraires  ==> leur produit est négatif

2a)  oui, la condition f(a) * f(b) <0 est vérifiée.
2b)
que vaut f(-0.5) ?
tu as f(a)=-2
quel est le signe du produit f(-0.5) * f(a)  ?

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 13:07

Pour la question 2.b. Je me suis trompé f(-0.5)=1.125 donc le signe de f(a+b/2) est positif .
Ensuite ok sait que f(a)=-2 donc On a négatif et positif donc le signe de f(a+b/2)f(a) est négatif

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 13:21

OK, f((a+b)/2) * f(a) est négatif


sais tu répondre à la question 2c à présent ?

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 13:23

Non toujours pas 😣.  On dois peut être prendre -1 pour a et 0 pour b ??

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 13:30

Je comprends pas C'est quoi les variables a et b ???

Merci de votre réponse en avance.

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 13:33

ben oui, c'est ton énoncé qui le dit ..

                                a          b        f(a)             f(b)              (a+b)/2               f((a+b)/2)
départ                 -1        0       ==> on rentre dans le Tant que
on a alors          -1        0        -2                 2                   -0.5                       1,125        

puisque f(a) * (f(a+b)/2)   < 0  alors b prend la valeur (a+b)/2  

on obtient      -1     -0.5    -2              .....                    ....                            ....  
à l'issue du premier passage dans le tant que a=-1  et b=-0,5
que penses tu de ces valeurs par rapport à x1 (la solution que tu as trouvée en partie A) ?

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 13:37

Ok x1=2 donc c'est situé au dessus de ces 2 valeurs

Pour la question d: on trouvera je pense a=-0,5 et b=0 ( b reprend ça valeur initiale ) et x1 se situe encore au dessus

C'est normal que x1 est toujours au dessus ?

Merci de votre réponse 😊

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 13:48

tu te trompes   x1 = 1-V3  (relis le post de hekla)..

Je vais essayer de t'expliquer ce qu'on fait.
On a vu que la courbe coupe l'axe des abscisses (f=0)  pour une valeur de x1 comprise entre -1 et 0 ..   on voudrait affiner cet intervalle.
on pose les bornes de l'intervalle a=-1  et b=0 (ce sont des abscisses).
on dit f(-1) <0  et f(0) >0   donc f(x1)=0  est entre les deux.
pour raccourcir l'intervalle de moitié, on va remplacer l'une des bornes par leur milieu (a+b)/2   mais laquelle des deux remplacer ? On en garde toujours une avec l'image en dessous de xx'  et l'autre avec l'image au dessus de xx'.
C'est pour ça qu'on teste le produit des images ==> s'il est négatif, elles seront de signes contraires (donc une au dessus et une en dessous).

Ici, on est parti avec a=-1 et b=0
le milieu c'est -0,5      or f(0,5)  >0  ==> on garde f(a) qui est négatif, et on dit  b=-0,5
on a donc raccourci l'intervalle
x1 est maintenant compris entre -1  et -0,5  
en effet en partie A, x1 = 1-V3      ==> x1 est compris entre -1 et -0,5

tu vois ?

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 13:53

Ok je vous merci 😊. Pour l'autre question: a l'issue du deuxième passage : On prend donc la deuxième bornes . On a alors a=-0.5 et b=0
Cette fois çi x1 est en dessous de ces deux valeurs

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 13:57

Pour la question e:
l'algorithme affiche -0,732055664062 pour a et -0,732048034668 pour b.
X1 est égal à 1- racine de 3 qui est égal à -0,7320508076 donc on peut dire que X1 est situé entre a et b??

Merci de votre réponse 😊😊

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:01

Jaden, stp, lis correctement les posts..

je t'ai donné à l'issue du 1er passage, a=-1  et b=-0.5
et toi, tu écris a=-0.5 et b=0  ....  
deuxième passage :
                                a          b        f(a)             f(b)              (a+b)/2               f((a+b)/2)
on a alors          -1       -0.5     -2              1,125             -0.75                      -0,109      

ici, f(a) * f(a+b/2)   >0   ==> a prend la valeur a+b/2     donc a = -0,75  et b=-0.5
  

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:05

D'accord donc là cela veut dire qu'on a encore plus précisé notre intervalle on est passé de -1 -0.5 a -0.75 a -0.5

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:06

X1 est toujours situé entre les 2 valeurs

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:06

question e) : OK
x est compris entre a et b

question 3)
pour x2, on sait au départ qu'elle est comprise entre 2 et 3
donc tu fais tourner l'algo avec a=2  et b=3 au départ.

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:08

Je trouve 2,5 et 3

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:10

Jaden @ 21-04-2017 à 14:08

Je trouve 2,5 et 3

??
à l'issue du 1er passage, c'est vrai, mais tu dois programmer l'algo et le faire tourner complètement...

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:12

C'est à dire le faire tourner complètement . J'ai fais ensuite Avec 2,5 et 3

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:18

Du coup ça encore plus précisé et maintenant cést entre 2,75 et 3 on sait que x2=1+racine de 3 qui est égale a  2,732050808  donc c'est ça l'encadrement que l'on peut faire ???

Merci de votre réponse à l'avance 😊😊

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:22

tu dois programmer l'algo  ! (sur algobox ou sur ta calculatrice)
c'est ce que demande ton énoncé ..    pour obtenir des valeurs de a et b très précises (comme pour x1, avec 12 ou 13 décimales)..
là, tu le déroules "à la main" sur deux étapes.. c'est insuffisant.

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:25

J'ai déjà programmé et pour x2 j'ai trouver un encadrement entre 2,5 et 3

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:27

tu n'as pas programmé tel que l'algo t'es donné...
as tu bien mis au début :
Si f(b)Xf(a)<ou=0Alors
Tant que b-a>10^-15 Faire

?

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:30

Jài mis :

If F(A)*F(B)<ou=0
While B-A>10^-15

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:34

Mon programme est:

rompt A,B
:A<B
:If F(A)*F(B)<ou=0
:While B-A>10^-15
:If F((A+B)/(2))*F(A)<ou=0
:Then
(A+B)/(2)) sto B
:Else
(A+B)/(2)) sto A
:End
: Disp A,B

Le sto c'est une flèche mais j'ai pas réussi à la mettre et je pensais qu'il y avais 2 end à la fin Mais le programme ne marché pas Si j'en mettais 2 donc j'ai enlevé un end

Merci 😊

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:43

mmhh...    je n'ai pas de calculatrice programmable, je ne peux pas te dire si ta façon d'écrire est correcte.. mais je ne vois pas comment ta calculatrice sait calculer F(A)  ou F(B) ?
et manifestement, ton algo ne tourne pas tant que (b-a) > 10 -15
donc ton algo ne fonctionne pas...

sur excel je trouve (avec 8 decimales  mais j'arrete là..:

a=2,73046875   et b= 2,73242188
pour x2 = 2,7320508075688

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:57

Merci beaucoup 😊 😘

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 14:58

La question 4 On me demande de résoudre l'équation f(x)=0 . Mais je les deja fais ?? J'avais trouver pour 1

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 15:03

tu ne lis pas les énoncés attentivement

q4) À l'aide d'un logiciel de calcul formel, résoudre l'équation f(x)=0 et commenter les résultats.

en partie A, on l'a fait algébriquement.
en partie B, on le fait avec des outils : d'abord l'algorithme qui travaille par dichotomie,
puis en Q4 avec un logiciel de calcul formel.

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 15:04

Oui Mais c'est quoi le logiciel : algobox ?? 😊😊

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 15:12

non, algobox est un langage de programmation (utilisable pour l'algorithme).
Un logiciel de calcul formel : Xcas par exemple..  c'est celui qu'on trouve le plus souvent dans les livres..
Je ne peux pas t'en dire plus sur Xcas, je ne le connais pas.
mais tu peux aussi trouver un logiciel de calcul formel en ligne, je suppose

Posté par
Glapion Moderateur
re : La Dichotomie 21-04-17 à 15:12

un logiciel gratuit qui permet de faire tourner les algorithmes.

(et si tu ne veux pas l'installer, il y en a un en ligne . mais il faut connaître la syntaxe algobox pour pouvoir l'utiliser)

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 15:15

Merci beaucoup pour m'avoir aidé 😊😊😊🙏😘😘

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 15:16

en ligne, en utilisant solumaths,
on obtient comme réponse
x0 = 1
x1 = -0,7320508075689
x2 = +2,7320508075689

Posté par
Jaden
re : La Dichotomie 21-04-17 à 15:17

Merci beaucoup Leile 😘😘

Posté par
Leile
re : La Dichotomie 21-04-17 à 15:21

je t'en prie,
j'espère que tu as compris le principe de la dichotomie..
Bonne journée.

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