Soient V un -e.v. normé par N et A une partie convexe non vide de V; pour tout x de V je désignerai par f(x) = d(x,A) la distance de x à A càd f(x) = Inf{N(x - a) ; a A}.
On se propose de montrer que f est convexe.

Soient x et y dans V et t [0,1] ; on pose z = t.y + (1-t).x.
   Soit   > 0. On peut  trouver a et b dans A tels que N(x-a) f(x) +   et N(y-b) f(y) +   .
Alors c = t.y + (1-t).x A donc f(z) N(z-c) = N(t.(y-b) + (1-t).(x-a)) tN(y-b) + (1-t).N((x-a)) tf(y) + (1-t)f(x) +  .
Cette inégalité étant valable pour tout > 0 on a : f(t.y + (1-t).x) tf(y) + (1-t)f(x)
  
f est donc convexe.

Merci kybjm.

Bonjour à tous, j'ai une question concernant la partie C. Pourquoi la partie C doit être convexe?

salut

parce qu'il y a une erreur ici :

kybjm @ 19-11-2009 à 00:36


Alors c = t.a + (1-t).b A donc f(z) N(z-c) = N(t.(y-b) + (1-t).(x-a)) tN(y-b) + (1-t).N((x-a)) tf(y) + (1-t)f(x) +