Bonjour

Réponse proposée : 1007 = 53*19

ab.cd = ab*dc+3816

...

9(10a+b)(d-c)=3816=9*8*53

10a+b=53 => a=5 et b=3

c-d=8 comme d ne peut être nul => c=9 et d=1

53*19

Merci pour l'énigme,

Philoux

Soient a et a' le nombre et son transformé par dislexie (!), et b l'autre nombre:
on a donc a'b-ab=3816 soit (a'-a)b=3816
Or 3816=8*9*53
a'-a est divisible par 9 (puisque différence de deux nombres ayant les mêmes chiffres)
Comme 53 est premier et que b a deux chiffres, on ne peut avoir que b=53 (on ne peut avoir b=8, et tout autre multiple de 53 a plus de 2 chiffres)
Donc a'-a=8*9=72
Si a=10c+d avec c et d compris entre 1 et 9 (c ne peut être nul puisque a a deux chiffres, et d>c)
a'-a=9(d-c)
La seule solution est d=9 et c=1
donc a=19 et comme b=53, le résultat qu'on aurait du obtenir est
ab=1007 (et on vérifie que a'b=91*53=4823=1007+3816)

Le résultat aurait était 1007 si il n'y avait pas eu de distraction.

Explication :
admettons que le nombre qui ait été inversé s'écrive 10a+b et le deuxième nombre s'appelle n.
on a (10b+a)*n=(10a+b)*n + 3816
ce qui équivaut à
9b-9a=3816/n
b-a= 424/n
or 424=53*2*2*2 et 53 est premier
comme n est un nombre a deux chiffres et qu'il divise 424 il vaut obligatoirement 53 car 2*2*2=8 (un seul chiffre) et 53*2=106 (trois chiffre).
donc n=53 et b-a=8
d'où b=9 et a=1
donc l'opération aurait dû être 19*53=1007 et non 91*53 = 4823 = 1007+3816

Remarque:
j'ai volontairement exclu la solution b=8 et a=0 car sinon 10a+b aurait était un nombre à un seul chiffre (10a+b=8) mais ça marche aussi avec 8*53=424   et 80*53 = 4240 = 424 + 3816

merci pour cette belle enigme.

Soit la multiplication (10a+b)*(10c+d), avec a et c différents de 0.
Supposons que j'ai échangé c et d.
Le résultat obtenu est : (10a+b)*(10d+c).
La différence entre ces deux résultats est :
(10a+b)*(9d-9c) = 3816 = 2³*3²*53.
(10a+b)*(d-c)= 2³*53.
La seule solution est
10a+b =53 et d-c =8, donc d=9 et c=1 (puisque c est différent de zéro).
La réponse correcte aurait du être : 53 * 19 = 1007 (réponse demandée)
Le mauvais résultat est : 53 * 91 = 4823.
Et la différence est bien 3816.

Sans l'erreur : 1007
Soit (ab) et (cd) les 2 nb à multiplier.
Ce qui peut s'écrire (10a+b)(10c+d)
Si on inverse disons le premier nombre on obtient
(10b+a)(10c+d)
La différence entre les 2 opérations vaut donc
(10c+d)(10b+a-10a-b)=3816
ce qui se met sous la forme (10c+d)9(b-a)=3816 ou
(b-a)(10c+d)=424
424 se décompose de 4 manières possibles mais seule une est acceptable. 424=8x53 d'où b=9 a=1 c=5 et d=3

Ma réponse est  [b]1007[/b]

Démonstration :
Soit  A=10a+b  et  C=10c+d
B est le nombre A avec les chiffres inversés, donc B=10b+a
On a  AB=AC+3816 et on cherche la valeur de AC.
BC=100bc+10bd+10ac+ad
AB=100ac+10ad+10bc+bd
d'où,    100(bc-ac)+10(bd+ac-ad-bc)+ad-bd=3816
d'où,    (b-a)(100c+10(d-c)-d)=3816
on sait que   -8(b-a)8 ,  0c9 , -8(d-c)8 , -9-d0
de plus,   3816=2³*3²*53
donc (b-a)=2 ou 3 ou 4 ou 6 ou 8
et alors (100c+10(d-c)-d) =1908 ou 1272 ou 954 ou 636 ou 477  (respectivement par rapport à b-a)
or  (100c+10(d-c)-d)980, donc  (100c+10(d-c)-d)=90c+9d= 954 ou 636 ou 477
si  90c+9d=954 , alors 10c+d=106  impossible car 10c+d99
si  90c+9d=636 , alors 10c+d=212/3 impossible
donc on a forcément 90c+9d=477, soit 10c+d=53, donc   c=5 et  d=3
et on a aussi    b-a=8, soit b=8+a, donc b=9 et a=1
Donc A=19   B=91   et   C=53
Donc AC=19*53=1007
On vérifie facilement que   BC-AC=91*53-19*53=3816
CQFD !

sans mon erreur j'aurais obtenu 1007
en effet sans mon erreur l'opération était (10a+b)(10c+d)
avec a,b,c,d des chiffres entre 0 et 9

avec mon erreur elle est devenue (10b+a)(10c+d)
nous avons donc
(10b+a)(10c+d)=(10a+b)(10c+d)+3816
donc 100bc+10ac+10bd+ad=100ac+10ad+10bc+bd+3816
90bc-90ac+9bd-9ad=3816
(10c+d)(b-a)=424=53*8
or 10c+d<100
donc b-a>4
de plus a-b<10
10>a-b>4
le seul diviseur de 424=53*8 entre 4 et 10 est 8
donc a+b=8
10c+d=53
a=0 est à exclure
donc a=1,b=9, c=5, d=3
l'opértaion était 53*19=1007 et on a calculé par erreur 53*91=4823
on a bien 4823-1007=3816

Hello, j'ai trouvé en 5 min....
ab*cd=x
ab*dc=y
x-y=3816

ab=10a+b
cd=10c+d
dc=10d+c

et a b c d sont des chiffres et pas des nombres.

(10a+b)(10c+d)=x
(10a+b)(10d+c)=y

on fait x-y et on trouve
(10a+b)(9c-9d)=3816
(10a+b)(c-d)=424

or 424=2*2*2*53

10a+b ne peut être que 53 car a et b sont des chiffres et pas des nombres.

donc a = 5 et b = 3
x = 53

c-d=8 donc c=9 et d = 1

avec l'erreur j'ai 53*91 = 4823

donc sans l'erreur j'aurais eu (et pas j'aurai) 53*19 = 1007

réponse 1007

C'est pas parce qu'on sait se servir d'excel qu'on n'a rien dans le cigare

Et comme j'enseigne les maths à des CE1, la distinction chiffres et nombres ne me pose pas de problème.

Salut bornéo,

Oui il manque un s dans ma question.
Mais les points de suspension sont au nombre de 3 et pas 4.

Nul n'est parfait

Bonjour,

Réponse proposée : 53 et 19

Méthode proposée :
J'appelle b le nombre qui dont les chiffres ont été inversés et a l'autre nombre.

Soit x le chiffre des unitées et y celui des dizaines de b
Donc b = 10y + x  Où x et y sont des entiers compris entre 1 et 9

Losque tu t'es trompé, tu a inversé les chiffre et tu as donc utilisé comme valeur de b : 10x + y

On peut rassembler tout ça dans l'équation:
    a*(10y+x) + 3816  = a*(10x+y)
a*(10y+x) - a*(10x+y) = -3816
    10y+x - (10x + y) = -3816/a
             9y - 9x  = -3816/a      
               x - y  = 424/a

x et y sont des entiers donc x-y est entier.
Donc 424/a doit être un entier
a et 424 sont aussi des entiers donc a est un diviseur de 424.
Ceux-ci sont 1, 2, 4, 8, 53, 106, 212 et 424 lui-meme.
a est un nombre de deux chiffres, or, le seul nombre de deux chiffres parmis ces diviseurs est 53.
Donc a = 53

x - y  = 424/a
x - y  = 424/53
x - y  = 8
Les seuls nombres entiers superieurs à un et inferrieur à neuf ayant une différence de 8 sont 9 et 1.
Donc x = 9 et y = 1
Donc b = 10y + x = 10*1 + 9 = 19

salut tout le monde.
voici ma solution:
soit d et m les deux facteurs de la multiplication.
notons d'  le nombre inversé de d.
soit x le chiffre des unité de d et y le chiffre de dizaines.Donc:
          d=10*y+x
          d'=10*x+y
          d'-d=9x-9y=9(x-y)
nous savons que: m*d'-m*d=3816
donc:            m*(d'-d)=3816
ça veut dire que: m*9*(x-y)=3816
ainsi:            m*(x-y)=424
décomposons 424 en un produit de facteur prmiers:
    424=2*2*2*53
si on veut écrire 424 sous la forme d'un produit de deux facteurs seulement, on aura:
424=53*8 ou 424=424*1 ou 424=106*4 ou 424=212*2
puisque m est un nombre de deux chiffres, le cas qui peut nous servir est: 424=53*8
donc: m=53
on en déduit que x-y=8 avec x et y deux entier compris entre 0 et 9.
pour avoir une différence de 8, on a deux cas:
8=9-1 ou 8=8-0
le cas x=8 et y=0 est un cas trivial puisque si on inverse on aura 08 qui n'est pas un nombre de deux chiffres.
on constate alors que x=9 et y=1
donc d=19 et d'=91
et enfin le résultat qui aurait été obtenu sans distraction est 19*53=1007.
vérification:   91*53-19*53=3816.

Soit N1 et N2=10A+B les deux nombres avec A et B deux chiffres.
La distraction a amené J-P à effectuer N1×(10B+A).
On sait que N1×(10B+A)-N1×(10A+B)=3816
N1×(9B-9A)=3816
N1×(B-A)=424=2³×53
Ça ne laisse guère de choix : N1=53 et B=A+8 d'où A=1 et B=9.
Le produit sans erreurs est donc : 53×19=1007.

Bonsoir,

j'ai commencé par décomposé 3816 en facteurs premiers. On a .
Comme nous avons affaire à un produit de deux nombres à deux chiffres on doit nécessairement obtenir 3816 comme le produit d'un nombre à deux chiffres et d'un autre nombre ayant au plus deux chiffres (généré par la différence crée par l'inversion des chiffres).
Or la seule décomposition de 3816 comportant un facteur à deux chiffres est .
En notant la bonne multiplication, on peut (par commutativité) écrire celle érronée (où d>c puisque après interversion le résultat obtenu est supérieur).
L'erreur générée est nécessairement multiple du nombre fixe , donc, d'après la décomposition précédente, ou .
Par ailleurs, la différence est également un diviseur de l'erreur, i.e. 3816 donc ou .

On se retrouve avec deux hypothèses: { et } ou { et }
Enfin 53 étant premier, la seconde est exclue.

Ainsi, et , d'où ce qui implique c=1 et d=9.
Finalement, la multiplication est (ou ).
Et le résultat correct est (contre 1007+3816=4823 pour la multiplication inversée )

Merci pour l'énigme.

Soit 10a+b le premier nombre et 10c+d le second nombre (avec a, b, c et d des chiffres et a et c non-nuls).

Le produit correct est (10a+b).(10c+d).

Si on inverse les chiffres d'un nombre (disons le second - on pourrait faire un raisonnement similaire en prenant l'autre), on calcule (10a+b).(10d+c), qui est le produit incorrect.

On sait que (10a+b).(10d+c) - (10a+b).(10c+d) = 3816. En simplifiant, on trouve

(10a+b).(9d-9c) = 3816 ou encore

(10a+b).(d-c) = 424 = 2.2.2.53

Il faut décomposer 424 en un produit de deux valeurs; la première, 10a+b, est un nombre à deux chiffres et la seconde, d-c, est la différence entre deux nombres (c'est-à-dire une valeur comprise entre 0 et 9). La seule manière de faire est :

10a+b = 53
d-c = 8

Le premier nombre est donc 53. Quant au second nombre, on trouve soit d=9 et c=1 (et donc 91), soit d=8 et c=0 (et donc 80).

On a bien :

53 x 91 = 4823
53 x 19 = 1007 (= 4823 - 3816)

et

53 x 80 = 4240
53 x 08 = 424 (= 4240 - 424).

On ne précise pas vraiment dans l'énoncé si, une fois retourné, le nombre de deux chiffres est encore un nombre de deux chiffres ou pas (quoi que la phrase "J'ai effectué une multiplication de deux nombres à deux chiffres." peut le laisser supposer).

Ma réponse est donc : le produit correct est 1007.

Bonjour

Soient "ab" le premier nombre et "cd" le deuxième
Par distraction "ab" a été transformé en "ba" :

(10b+a)(10c+d) - (10a+b)(10c+d) = 3816
90bc + 9bd - 90 ac - 9 ad = 3816
10bc + bd - 10 ac - ad = 424
10c(b-a) + d(b-a) = 424
(b-a)(10c+d) = 424

(10c+d)max = 99
424 / 99 = 4.28
Donc (b-a)min = 5
de plus 424/(b-a) doit etre entier

Seule solution (b-a) = 8 et donc 10c + d = 53

b-a = 8 --> 2 solutions : b=8 ; a=0    ou b=9 ; a = 1

a=0 est interdit car le nombre "ab" doit etre à deux chiffres


SOLUTION DU PROBLEME :

19*53 a été remplacé par 91*53. Le résultat sans distraction était 1007

Merci pour l'énigme

Soit le premier nombre x compris entre 10 et 99 et le deuxieme nombre 10a+b avec a et b chiffres.

donc (10b+a)x-(10a+b)x=3816

donc x(9b-11a)=3816  or 11b-9a nombre entier donc 3816/x nombre entier et 9b-11a vaut au maximum
81.

or 3816=72*53 donc x peut valoir 53 ou 72

si x=72, (9b-11a)=53 pas de solution pour a,b chiffres
si x=53, (9b-11a)=72 une seule solution pour (a,b)=(0,8)

Donc sans erreur tu aurais obtenu 53*08=424.

Je note 10a+b et 10c+d les deux nombres de départ.
avec a et c non nuls évidemment.(conséquence de la différence de 3816)
En effectuant les produits (10a+b)(10c+d) et (10a+b)(10d+c) qui diffèrent de 3816, on obtient facilement l'égalité
(10a+b)(c-d) = 424
Ainsi, 10a+b est un diviseur de 424.
Le seul possible est 53.
Il ne reste plus qu'à simplifier l'expression
53(10c+d) = 53(10d+c) - 3816
Qui donne d-c = 8
Le deuxiéme nombre est 19.
Vérif :
53 * 19 = 1007
53 * 91 = 4823
4823 - 1007 = 3816.
Sans l'erreur, le résultat est 1007.
A+

Bonjour.
Soient les 2 nombres N1=xy=10.x+y  et N2=zt=10.z+t. On a N'2=10.t+z.
D'après l'énoncé on a N1.N'2=N1.N2+3816 => N1.(N'2-N2)=3816 => N1.(9t-9z)= 9.424
=>N1.(t-z)=53.8 (53 est le seul diviseur à 2 chiffres) => N1=53 et t=9,z=1 =>
N2=19 =>N1.N2=53.19=1007.
A plus.

Soit AB * CD la bonne multiplication
et donc BA * CD la multiplication erronée.

On a (10B+A).(10C+D)-(10A+B).(10C+D) = 3816
=> (10C+D).(10B+A-10A-B) = 3816
(10C+D).(9B-9A) = 3816
(10C+D).(B-A) = 424
(10C+D).(B-A) = 2³.53
cette égalité n'est possible que si B-A = 8 et 10C+D = 53
Seule possibilité : B = 9 , A = 1 et C = 5 , D = 3

La bonne multiplication était donc 19*53 = 1007 et la multiplication erronée 91*53 = 4823 qui est bien supérieure de 3816 à la multiplication précédente.

(10a+b)(10d+c)=(10a+b)(10c+d)+3816
(10a+b)(9d-9c)-3816=0
90ad-90ac+9bd-9bc-3816=0
9(10ad-10ac+bd-bc)=3816
10a(d-c)+b(d-c)=424
(d-c)(10a+b)=424
d=9
c=1
a=5
b=3
424/9=53
53*91=53*19+3816
4823=1007+3816

réponse : 1007

SOIT A=10b+c et C=10d+e
Donc (10b+c)(10d+e)+3816=(10b+c)(10e+d)
Apres developpement, 90bd+9ce+3816=90be+9ce
soit 424=10b(e-d)+c(e-d)
d'ou 424=A(e-d) donc e>d
POUR que A<99 et que 424 soit divisible par 424 on a obligatoirement A=53 et e-d=8
Donc e=9 et d=1
d'ou 53*19=1007

Miaouw tout plein ! ! !

Bonjour!
Je trouve 1007. Le raisonnement est le suivant :
on a donc 4 réels a, b, x et y compris chacun entre 0 et 9 et tq
(10x+y)(10a+b)=3816 + (10x+y)(10b+a)
on passe tous les a, b, x et y du même côté. On a
90ax-90bx+9ya-9yb=3816
on factorise et on simplifie, on a:
10x(a-b)+y(a-b)=424
(a-b)(10x+y)=424
(a-b) et (10x+y) étant des réels, il appartiennent aux diviseurs de 424
D424={-424;-212;-106;-53;-8;-4;-2;-1;1;2;4;8;53;106;212;424}
0a9
0b9
donc -9a-b9
or x et y étant positifs, et 3816 l'étant aussi, (a-b) est nécessairement positif
(a-b) est donc comris entre 0 et 9, cad est égal à 1;2;4 ou 8 puisqu'il doit aussi appartenir aux diviseurs de 424
<=> (10x+y) est égal à 53;106;212 ou 424 puisque (10x+y)=(424)/(a-b)
or
0x9
0y9
donc
010x+y99
ce qui restreint les possibilités pour (10x+y) à 53
10x+y=53
0x9
0y9
donc nécessairement x=5 y=3
(a-b)=424/53
     =8
0a9
0b9
donc nécessairement a=9 et b=1 ou
a=8 et b=0
or le nombre recherché a deux chiffres, donc 08 ne convient pas
on a donc x=5
y=3
a=9
b=1
on en conclut:
la multiplication erronée était 53*91
la vraie étant : 53*19
on a bien 53*91-53*19=3816
le bon résultat est donc 53*19=1007.
Merci pour l'énigme!

bonsoir,

soit le produit 1 avec les nombres (ab) et (cd)
soit le produit 2 (résultat recherché) avec les nombres (ab) et (dc)

on a la relation (10a+b)*(10c+d)=(10a+b)(10d+c)+3816

on obtient après simplification : (10a+b)*(c-d)=424
on sait que 10a+b <=99 et c-d <=8
après décomposition de 424 on a 424 = 53*8 ou 106 * 4 ou 212*2 ou 424*1
le seul qui convient pour 10a+b<=99 et le produit 53*8 avec 53

donc on obtient le système 10a+b =53 et c-d =8
les seules solutions sont a=5, b=3, c=9, d=1
ainsi le résultat recherché est le produit de 53*19 =1007

soit ab et cd les nombres de départ et ab le nombre inversé on a
(10a+b)(10c+d)=(10b+a)(10c+d)-3816
en résolvant cette équation on trouve
(10c+d)(a-b)=-424
or puisque ab doit etre un nombre entier de 2 chiffres en essayant les différents valeurs de  a-b on a
a-b=8 qui est la bonne donc a=1 ou a=0 or si a=0 ab est un nombre de 1chiffre donc a=1 et b=9 10c+d=53

par conséquent on a 53*19= 1007 et le résultat que vous auriez obtenu est  1007

Salut J-P

Tout d'abord comme tu a trouvé une diférence positive entre ton résultat faux et celui que tu aurais du trouver, cela signifie que cette distraction t'a permi de trouver un nombre a deux chiffre plus grand que celui initialement choisit
En réfléchissant un peu j'ai constaté qu' il existai un raport entre un nombre a deux chiffre et celui avec ces deux m^mes chiffres inversés.
Prenons deux chiffre a et b
si a=b, alors ton erreur serais invisible dans ton résultat
Il reste donc huit autres cas pour lesquels ton problème parraîtrait envisageable
ab désigne le nombre de deux chiffres différents ex: 53
a=b-1 implique que ba-ab=9
a=b-2 implique que ba-ab=18
a=b-3 implique que ba-ab=27
a=b-4 implique que ba-ab=36
a=b-5 implique que ba-ab=45
a=b-6 implique que ba-ab=54
a=b-7 implique que ba-ab=64
a=b-8 implique que ba-ab=72
Je ne peux pas encore démontré ce que j'ai avancé mais pour tout nombre de deux chiffres, ça marche...

A partir de ces résultats, il ne reste plus qu'a trouver un multiple de ta différence de calcul
3819/72=53
Les deux nombres de départ que tu avais choisit sont 53 et 19.
C'est la seule réponse envigageable car les autres différences ci-dessus ne sont pas multiple de 3816

en notant et les deux nombres dont on cherche le produit , étant celui sur lequel on fait l'inversion, on peut écrire :





Parmi les diviseurs de 424, seul 53 est composé de 2 chiffres donc

est lui aussi composé de 2 chiffres donc .
Comme ,

En définitive, le produit cherché vaut

salut à tous ,surtout à sof
en explican l'enigme sous la forme d'une equation j'ai obtenu le resultat suivant:
a=xy  et b=mn et     c=nm donc (les nombres correctes sont a et b)
ac=ab+3816 donc
a(c-b)=3816
en décomposant 3816 en facteurs premiers j'ai trouvé que
a=53 ou a=18 ou a=36 ou a=72 ou a=12 ou a=24 ou a=27(a est composée de 2 chiffres)
après quelques operations j'ai trouvé que a=53 et
b= 19       et c=91
alors au lieu de 4823  tu aurais obtenu le resultat 19*53= 1007
merci

bonsoir ,


voila ma reponse et l'explication qui suit:




et l'on peut verifier

et maintenant comment en arriver là:

soit A le resultat cherche:

a le chiffre des dizaines et b celui des unites du premier chiffre (celui qui ne change pas)
c et d sont les chiffre qui passent des dizaines a l'unite et reciproquement;

on a:

(10a+b)(10c+d)=A
(10a+b)(10d+c)=A + 3816

faisons le rapport:



ce qui en soustrayant les denominateurs de chaque cote:



ou

on a un petit indice : d>c


et apres une petite recherche "tabloide et excellienne"


on trouve que A = 1007

voila , à quoi vais-je avoir droit?

merci pour cette enigme . on a toujours l'impression au debut que l'on ne va rien trouver et puis en cherchant on s'achemine vers une solution ou  vers d'avantage de recherche.

a la prochaine

salutations

Paulo

Bonjour à tous,

Sans cette distraction, le résultat aurait été 1007.

Justification.

Soit N le premier nombre de 2 chiffres.
Soit x et y les deux chiffres du nombre posé de manière incorrecte. Le nombre a multiplié par N devait être (10x+y),
mais par distraction il a été posé (10y+x).
On peut écrire: N X (10x+y)= [ N X(10y+x)] - 3816.
10Nx +Ny = 10Ny + Nx - 3816;
9Nx = 9Ny - 3816;
9N (y-x) = 3816;
(y-x) = 3816/9N d'où (y-x)=424/N;

N étant un nombre de 2 chiffres et diviseur de 424, l'unique solution est (y-x)=8 et N=53;
Pour obtenir 8, y ne peut être que 9 et x 1;
d'où (10y +x) = 91 et 19 pour (10x+y)  
Le nombre à multiplier par 53 était donc 19, ce qui donne 1007.
Il a été incorrectement trouvé 53 X 91 soit 4823.
4823 - 1007 = 3816.

J'espère avoir répondu correctement. Bon dimanche à tous.

atomium.

Allez comme j'ai un peu de temps aujourd'hui, je réponds à celle-ci qui me plait bien.

Il s'agit donc de trouver deux nombres s'écrivant AB et CD, tels que
(10A+B)(10C+D) = (10A+B)(10D+C) + 3816
c'est à dire après développement :
90AC + 9BC = 90AD + 9BD + 3816
DIvisons tout par 9 :
10AC + BC = 10AD + BD + 424
C (10A + B) = D (10A + B) + 424
424 est donc divisible par (10A+B) qui est un nombre à 2 chiffres.
Recensons les diviseurs de 424 :
424 = 2*2*2*53
53 est premier. C'est le seul diviseur à 2 chiffres possible. Donc le nombre qui s'écrit AB est 53. En divisant notre équation par (10A+B) = 53, on obtient :
C = D + 8
Comme D ne peut être égal à zéro (sinon le nombre qui s'écrit DC n'est plus un nombre à deux chiffres), il n'y a qu'une seule solution : C = 9 et D = 1

En définitive mon opération était :
53*91 = 53*19 + 3816 = 4823
Si je n'avais pas interverti les ciffres 9 et 1, j'aurais trouvé :
53*19 = 1007

donnez nous les résultats
je pense qu'il n'y aurait plus de participations.

soit a et bc ces deux nombres et p leur produit
on a donc a*bc=p ce qui donne a=p/bc
et a*cb=p+3816
comme cb>bc donc cb=bc+9
ainsi on obtient
x=424 * bc
d ou a=424
et par la suite on obtient p = 5088
avec a = 424 et bc = 12

Bonsoir,

Le produit de 19 par 53 est : tel est le résultat que vous auriez dû obtenir sans votre erreur.





Soit n le nombre de 2 chiffres correctement écrit.
Soit 10.a+b le nombre de 2 chiffres que l'on a inversé en 10.b+a
On a donc:
(10.b+a-(10.a+b)).n=3816
=>9(b-a).n=9.8.53
=> b-a=8
=>b=9 et a=1
Les 2 nombres étaient : 19 et 53.
En effet:
91.53-19.53=9.8.53

22

Si a et b sont les deux nombres, et si a' est l'inverse de a, on va noter c et d les chiffres de a. Donc a=10c+d et a'=10d+c. On remarque déjà que c est différent de d, sinon la multiplication ne va beaucoup augmenter. Si a est le nombre que j'ai choisi, alors a'>a, et donc d>c. On sait alors que :
3816=(a'-a)*b. Or a'-a=10(d-c)+(c-d) est congru à 0 modulo 9, et donc est divisible par 9. On écrira alors a'-a=9k et 3816=9k*b, soit k*b=424. La liste des diviseurs de 424 est : 1; 2; 4; 8; 53; 106; 212 et 424. Le seul nombre à 2 chiffres dans le tas est 53, donc b=53, k=8 et a'-a=72. Avec quelques essais on s'apperçoit que a'=91 et a=19. Sans erreurs, j'aurais obtenu

  a*b=19*53=1007

Bonjour a tous,

Notons x le premier chiffre et y le deuxieme chiffre du nombre sur lequel a eu lieu l'étourderie et a l'autre nombre.

On suppose x>y

Alors on a :

(10x+y)a=(10y+x)a+3816

donc 9a(x-y)=3816
donc a(x-y)=424=2^3.53

53 ne divise pas (x-y) car (x-y)<10
donc 53 divise a

Comme a<100, on a a=53
et donc (x-y)=8
et finalement x=9,y=1

l'unique solution du probleme est donc 91*53=19*53+3816

Enigme clôturée.

Dommage pour les quelques-uns qui ont visiblement trouvé la solution mais qui ont oublié de répondre à la question posée qui était:

"Quel résultat aurai-je obtenu sans mon erreur ?"

La réponse, soit 1007 devait évidemment apparaître dans la solution proposée en plus des explications.

Bonjour

Paulo ne méritait-il pas son ?

Philoux

Salut Philoux,

Le cas de Paulo m'a posé un petit problème de conscience.

Mais il était clairement dit que :

"...la réponse correcte doit être accompagnée d' une justification mathématique (sans utilisation d'informatique) pour obtenir un "

Donc l'utilisation comme il le dit lui même de "une petite recherche "tabloide et excellienne" " n'était pas autorisée.

Ok J-P pour cette utilisation abusive "d'informatique"

Ce serait d'ailleurs bien que tu le demandes plus souvent : "résolution à la main"... ()

notes que j'ai bien mis trois points, pas quatre

plutôt que de lui reprocher son nombre de points d'exclamation à la pôv' borneo, tu as laissé passer :

"...Ce n'est pas parce que..."

povre hortografe...

Philoux

Broken...

Je ne savais pas que les correcteurs pouvaient voir les réponses en temps réel... je ferai gaffe à l'avenir.

Pour Philoux
"C'est pas parce qu'on sait se servir d'excel qu'on n'a rien dans dans le cigare" est du registre familier, donc je me permets ne ne pas utiliser le "ne...pas" que j'enseigne à longueur d'année, et qui d'après les linguistes, est voué à disparaître.

Mais j'essaie de l'utiliser quand je parle à mes élèves.

Remarque que tu as raison, même les instits n'écrivent plus correctement. Moi, j'ai une excuse... j'ai fait un autre métier avant.

Pour Infophile : bravo pour ton étoile. Tu la mérites plus que quiconque.

borneo

ça se voulait du second d°

D'ailleurs, je doute sur ton explication de :


"C'est pas parce qu'on sait se servir d'excel qu'on n'a rien dans dans le cigare" est du registre familier, donc je me permets ne ne pas utiliser le "ne...pas" que j'enseigne à longueur d'année, et qui d'après les linguistes, est voué à disparaître.

puisque tu n'as pas utilisé la négation sur "C'est pas..." alors que tu as utilisé le n apostrophe sur "on n'a" qui était encore moins évident, donc plus..."voué à disparaître"

Vive les "sms"

Philoux

Ce n'est pas parce qu'on sait se servir d'Excel que l'on n'a rien dans le cigare"


Seb

ah ?? Sévère cette correction, je ne m'attendais pas à ce poisson là

bonsoir,

merci philoux,

j'accepte bien volontiers mon poisson en ces temps de tempete.

excel est une super calculatrice ou un  instrument pour programmer en langage "tableur" ; C'est pour cela que je l'avais precise dans ma reponse.

je n'ai rien trouve pour programmer le super sudoku de Puidea. Cela doit bien exister

le principal est de chercher les enigmes.

encore un mois bien mal commence

Merci a J-P
salutations

Paulo

"Ce n'est pas parce que l'on sait se servir d'Excel que l'on n'a rien dans le cigare" ?

Sticky

ho nan, il sont fort ceux qui savent ce servir d'Exel _{voir enigme 134}