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La droite de Newton

Posté par
skywel
09-01-18 à 12:48

Bonjour,

voici mon sujet :

Soit ABC un triangle. Une droite (d) coupe la droite (AB) en D, la droite (AC) en E et la droite (BC) en F.
M1 est le milieu de [CD], M2  est le milieu de [AF] et M3vest le milieu de [BE].

On veut démontrer que les points M1, M2 et M3 sont alignés.

On se place dans le repère (A, AB (vecteur), (AC) (vecteur) )

1 )Déterminer une équation cartésienne de la droite (BC).

Ici j'ai trouvé, 1x+1y-1=0 avec un point M (x;y) appartenant à (BC)

2) a- Justifier qu'il existe deux réels a et b tels que : AD (vecteur) = a AB (vecteur) et
AE (vecteur) = b AC (vecteur)

J'ai trouvé A, B et D alignés donc AB (vecteur) et AD (vecteur colinéaires.

b-Donner les coordonnées des points D et E en fonction de a et b

D (a;0) et E (0;b)

c- Démontrer que la droite (DE) a pour équation bx+ay-ab =0

M   (DE) donc DM (vecteur) et DE vecteur colinéaires donc équation de (DE) est bien bx+ay-ab=0

d- Justifier que a ne peut pas être égal a b

J'ai fait avec a=b, impossible donc a est différent de b.

3) Déduire des questions précédentes les coordonnées du point F en fonction de a et b.

Ici je suis bloquée, et j'aurais besoin de votre aide.

4) Determiner les coordonnées des points M1, M2 et M3 en fonction de a et b.

Pas de résultat trouvé également...

5) Justifier que les points M1, M2 et M3 appartiennent à une même droite.

Je n'ai pas trouvé de résultat non plus puisque j'ai besoin de résoudre les questions précédentes en premier lieu.

Merci de m'apporter votre aide.

skywel

Posté par
mathafou Moderateur
re : La droite de Newton 09-01-18 à 13:18

Bonjour,

2) a- J'ai trouvé A, B et D alignés donc AB (vecteur) et AD (vecteur colinéaires.
il en manque un bout : donc il existe a etc

d- Justifier que a ne peut pas être égal a b
J'ai fait avec a=b, impossible donc a est différent de b.

qu'est ce qui est "impossible" ?? et pourquoi ?

3) Déduire des questions précédentes les coordonnées du point F en fonction de a et b.

F est l'intersection de x + y = 1 et de ax + by = ab

donc résoudre le système, "en fonction de a et de b"
(c'est à dire que les résultats, les coordonnées x et y de F, dépendent de a et de b)
méthode identique à celle que l'on fait si on connait "numériquement" a et b

4) Determiner les coordonnées des points M1, M2 et M3 en fonction de a et b.
coordonnées de milieu, c'est direct et immédiat
exemple M1: milieu de CD, on connait les coordonnées de C et de D (en fonction de a et b toujours ...) donc formule de cours.

Posté par
skywel
re : La droite de Newton 09-01-18 à 16:02

Oui j'ai fait toute ces parties, je l'ai juste synthétisé lors de l'écrit de mes réponses.

2) a- Donc il existe un réel a tel que AD = a AB et de même, il existe un réel b tel que AE = b AC.

d- Il est impossible que a soit égal à b car cela voudrait dire que DE et BC sont colinéaires et que D,E et C sont alignés, or, selon l'énoncé, D,E et C ne sont pas alignés et DE et BC ne sont pas colinéaires donc a est différent de b.

4) Pourquoi dites vous que x+y=1 et que ax+by=ab ?

Merci.

Posté par
skywel
re : La droite de Newton 09-01-18 à 16:07

Et également dans la 4), nous conaissont déjà les coordonnées de C et de D aussi, seulement en fonction de a.

Posté par
skywel
re : La droite de Newton 09-01-18 à 16:14

J'ai compris pourquoi x+y=1 et ax+by=ab, j'essaye d'avancer dans le système des deux équations et je reviendrais vers vous quand j'aurais pensé avoir trouver la solution.

Merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : La droite de Newton 09-01-18 à 16:34

d- Il est impossible que a soit égal à b car cela voudrait dire que DE et BC sont colinéaires oui.
et que D,E et C sont alignés ah ???

non, cela voudrait juste dire dire que la droite (d) est parallèle à (BC) et que par conséquent F n'existe pas.

Posté par
skywel
re : La droite de Newton 09-01-18 à 16:45

Voici mon raisonnement pour le 4) :
\left\lbrace\begin{matrix} x+y=1 & & \\ bx+ay=ab& & \end{matrix}\right. \left\lbrace\begin{matrix} x=1-y & & \\ b(1-y)+ay=ab & & \end{matrix}\right.
\left\lbrace\begin{matrix} x=1-y & & \\ b-by+ay=ab & & \end{matrix}\right.
\left\lbrace\begin{matrix} x=1-y & & \\ b+y(a-b)=ab & & \end{matrix}\right. \left\lbrace\begin{matrix} x=1-y & & \\ y-a-b) = ab-1b & & \end{matrix}\right.
\left\lbrace\begin{matrix} x=1-y & & \\ y=b(a-1)\div a-b & & \end{matrix}\right.

et ensuite :

\left\lbrace\begin{matrix} x=1-(b(a-1)/a-b) & & \\ y=... & & \end{matrix}\right.
\left\lbrace\begin{matrix} x= ((a-b)/(-a-b))/(b(a-1)/(a-b)) & & \\ y=... & & \end{matrix}\right. \left\lbrace\begin{matrix} x=(a-b-ba-b)/(a-b &) & \\ & & \end{matrix}\right.

et à partir de là je suis perdue...

Posté par
mathafou Moderateur
re : La droite de Newton 09-01-18 à 17:20

y = b(a-1)/(a-b) OK

nota : ton écriture est fautive car ÷ ou / c'est pareil, diviserait seulement par a en l'absence de parenthèses autour de (a-b)

ta simplification ensuite de
x = 1 - b(a-1)/(a-b)

est incompréhensible
(d'ailleurs ne nécessite pas de l'écrire en LaTeX au prix d'user sa réflexion sur comment ça s'écrit plutôt que de le faire tout court)

reprends calmement. ça roule tout seul
tu aurais à simplifier 1 - 7/11 que tu t'en sortirais les doigts dans le nez
la méthode est exactement la même ici...

Posté par
skywel
re : La droite de Newton 10-01-18 à 14:29

bon j'ai rajouté des parenthèses dans mon systèmes et je crois avoir trouvé la réponse :

x=1-y
y=(b(a-1))/(a-b)

x=1-(b(a-1))/(a-b)
y=(b(a-1))/(a-b)

x=((a-b)/(a-b))-((b(a-1))/(a-b))
y=((a-b)-(ba-b))/(a-b)

x=(a-b-(ba-b))/(a-b)
y=((a-b)-(ba-b))/(a-b)

x=(a-b-ba+b)/(a-b)    (en supprimant les parenthèses, je change de signe)
y=((a-b)-(ba-b))/(a-b)

x=(a(b-1))/(a-b)
y=((a-b)-(ba-b))/(a-b)

Merci.

Posté par
mathafou Moderateur
re : La droite de Newton 10-01-18 à 15:06

comprends rien à tes calculs

y=(b(a-1))/(a-b) OUI celle là elle reste écrite comme ça jusqu'à la fin
(nota : une paire de parenthèses inutile car équivaut à y=b(a-1)/(a-b) : priorités et de gauche à droite ou multiplie, puis on divise)

mais pourquoi ensuite la modifier en :

y=((a-b)-(ba-b))/(a-b) faux ????

seule celle avec les x est à modifier ensuite :

x = 1 - y = ((a-b)/(a-b))-((b(a-1))/(a-b)) OK
(à part la pléthore de parenthèses inutiles : (a-b)/(a-b) - b(a-1)/(a-b) suffit. idem)

x=(a-b-ba+b)/(a-b) OK

x=(a(b-1))/(a-b) faux : a-ba ne fait pas a(b-1) mais a(1-b)

et donc les coordonnées de F :
x = a(1-b)/(a-b)
y = b(a-1)/(a-b)

etc (calcul des coordonnés des milieux etc

Posté par
skywel
re : La droite de Newton 11-01-18 à 17:26

Ok, alors j'ai fait tout ça et me revoilà bloqué a la question 5)...

J'ai trouvé pour les coordonnées de M1 (a/2;1/2) M2 ((a(1-b))/(2(a-b));(b(a-1))/(2(a-b)) et M3 (1/2;b/2)

5) Pour voir si les points M1, M2 et M3 sont alignés il faut voir si les vecteurs M1M2 et M1M3 sont colinéaires. J'ai donc appliqué la formule :

M1M2 :
xM2] - xM1] = (j'arrive après avoir mis au meme dénominateur à (a(1-b)-a(a-b))/(2(a-b)) ce qui me donne (a-a2)/(2(a-b)) et je ne pense pas que ce soit bon....
Pour y  je trouve (a(b-1))/(2(a-b))

Posté par
mathafou Moderateur
re : La droite de Newton 11-01-18 à 17:43

c'est tout bon, continues...

Posté par
skywel
re : La droite de Newton 11-01-18 à 21:07

Très bien merci alors M1M3 x=(a(1-a))/(2(a-b)) et y =(a(b-1))/(2(a-b)) ensuite pour M1M2 x= (1-a)/2 et y= (b-1)/2 et pour trouver la colinéarité des vecteurs, c'est de la forme  M1M2 = k*M1M3 mais je ne vois pas comment peut-on faire pour trouver k, les lettres me destabilisent

Posté par
mathafou Moderateur
re : La droite de Newton 11-01-18 à 21:19

le facteur a/(a-b) est pourtant très visible !!

on peut aussi utiliser :
(x; y) et (x'; y') colinéaires xy' - x'y = 0

ça évite de chercher explicitement le facteur k quand on ne le voit pas au premier coup d'oeil.



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