bonjour, pourriez-vous m'aider svp?

La fonction exponentielle est une fonction qui transforme les sommes en produits : pour tous réels x et y, exp(x+y)=(expx)*(expy). Le but de ce TD est de rechercher toutes les fonctions dérivables sur R qui ont cette propriété.
Dans la suite, f est une fonction dérivable sur R telle que pour tous réels x et y : f(x+y)=f(x)*f(y) [1]

1) Démontrez que s'il existe un réel x0 tel que f(x0)=0, alors f est la fonction nulle (On pourra calculer, pour tout réel x, f(x0+x).)

Dans la suite, on suppose f solution de [1] et distincte de la fonction nulle.

2)a/ En prenant y=0, démontrez que f(0)=1.

b/ En prenant x=y=(X/2), démontrez que pour tout réel X, f(X)>0.

3) Supposons x fixé et considérons la fonction g définie sur R par :
g(y)=f(x+y)=f(x)*f(y).

a/ Démontrez que g est dérivable sur R et que pour tout réel y, g'(y)=f '(x+y)=f(x)*f '(y).

b/ Cette égalité est aussi vraie pour tout réel x.
Déduisez-en que pour tout réel x, f '(x)=f '(0)*f(x)=af(x) avec a=f '(0).

c/Ainsi f est la solution de l'équation différentielle y'=ay telle que f(0)=1.
Déduisez-en que f(x)=e puissance ax.

4) Réciproquement , a est un réel, f est la fonction dérivable sur R, définie par f(x)=e puissance ax.
Démontrez que pour tous réels x et y, f(x+y)=f(x)*f(y).

Merci d'avance pour votre aide.