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La fonction racine

Posté par
Nofutur4 05-05-19 à 13:52

Bonjour je n'arrive pas à résoudre cet exercice sachant qu'on vient juste de commencer ce chapitre et que je n'y comprend rien. Voici l'énoncé :
f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}}{}
1) préciser le domaine de definition  de f.
2) Donner le domaine de dérivabilité de f et montrer que f'(x)=\frac{-3x^2+1}{2{\sqrt{x}}{(x^2+1)^2}}
3) Dresser le tableau de signe de f'(x) et en déduire le tableau de varriations de la fonction f.
4) Après avoir justifié que f(x)\geq0 , donner le minimum et le maximum de f.

Posté par
alb12re : La fonction racine 05-05-19 à 13:53

salut,
connais tu le domaine de racine de x ?

Posté par
heklare : La fonction racine 05-05-19 à 13:55

Bonjour


Que proposez-vous ?

q2    \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}

Posté par
alb12re : La fonction racine 05-05-19 à 14:51

Consultation deconseillee tant que l'internaute n'a pas fourni un travail personnel

Posté par
Nofutur4re : La fonction racine 05-05-19 à 14:56

Pour la une je sais que la racine carrée est definie sur [0;+infini[ et le quotient est definie sur R car c une fonction polynomiale. Mais je ne sais pas la quelle choisir. Pour la (2), en faisant la dérivée je trouve un résultat qui ne correspond pas au résultat

Posté par
alb12re : La fonction racine 05-05-19 à 15:00

le quotient est donc defini sur l'intersection des 2 ensembles cad R+

Posté par
heklare : La fonction racine 05-05-19 à 15:03

conditions
radicande positif  donc x\geqslant 0

dénominateur non nul  pour tout x\  x^2+1\not=0

les deux simultanément  donc

que trouvez-vous ? donnez le détail  pour que l'on puisse corriger

Posté par
Nofutur4re : La fonction racine 05-05-19 à 16:57

Alors, on a :
x^2+1\geq0
x^2\geq-1
Et comme n'importe quel x élevé au carré est toujours positif donc le dénominateur s'annule pourx=1. C'est bien ça? Du coup quelle est le domaine de definition?

Posté par
heklare : La fonction racine 05-05-19 à 17:00

??? on vous a dit que le dénominateur n'est jamais nul

\R^+\cap \R=

Posté par
Nofutur4re : La fonction racine 05-05-19 à 18:24

heklaAh oui désolé j'ai mal compris votre question. Du coup ça nous donne:
\R^+\cap \R= \\ ]-\infty;+\infty[

Posté par
alb12re : La fonction racine 05-05-19 à 18:34

non

Posté par
heklare : La fonction racine 05-05-19 à 18:35

NON  les x négatifs n'appartennent pas à \R^+

Pour l'intersection il doit appartenir aux deux

Posté par
Nofutur4re : La fonction racine 05-05-19 à 18:58

hekla @ 05-05-2019 à 18:35

NON  les x négatifs n'appartennent pas à \R^+

Pour l'intersection il doit appartenir aux deux

C'est donc : [0;+\infty[

Posté par
heklare : La fonction racine 05-05-19 à 19:01

oui
Comment avez-vous calculé la dérivée ?

Posté par
Nofutur4re : La fonction racine 05-05-19 à 19:10

J'ai faitf'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x}}*\frac{1}{x^2+1} et je trouve un résultat différent de l'énoncé

Posté par
heklare : La fonction racine 05-05-19 à 19:27

normal

je vous ai rappelé le calcul de la dérivée 13 :55

u(x)=\sqrt{x}

v(x)=x^2+1\quad  v'(x)=2x

Posté par
Nofutur4re : La fonction racine 05-05-19 à 20:11

hekla @ 05-05-2019 à 19:27

normal

je vous ai rappelé le calcul de la dérivée 13 :55

u(x)=\sqrt{x}

v(x)=x^2+1\quad  v'(x)=2x

  
Je suis bloqué à une étape je trouve:
\frac{\frac{1}{2x}x^2+1-(\sqrt{x}*2x)}{x^2+1}
=
\frac{\frac{1}{2}x+1-2x\sqrt{x}}{x^2+1}

Posté par
heklare : La fonction racine 05-05-19 à 20:28

u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x^2+1)-\sqrt{x}\times (2x)}{(x^2+1)^2}


f'(x)=\dfrac{x^2+1-4x^2}{2\sqrt{x}(x^2+1)^2}

Posté par
Nofutur4re : La fonction racine 05-05-19 à 20:40

Merci beaucoup, je vien de me rendre compte que j'ai fait une erreur dans le calcul. Le domaine de dérivabilité je dois le déduire en faisant un tableau?

Posté par
heklare : La fonction racine 05-05-19 à 20:47

comme quotient de fonctions dérivables sur \R^+_*

Posté par
Nofutur4re : La fonction racine 05-05-19 à 20:56

hekla @ 05-05-2019 à 20:47

comme quotient de fonctions dérivables sur \R^+_*

Ok merci mais il faudra le justifier ou pas? Pour la (Q3) je sais comment faire mais pas pour la (4)

Posté par
alb12re : La fonction racine 05-05-19 à 21:03

en toute rigueur il faudrait se poser la question de la derivabilite en 0
mais en premiere peut on le faire ?

Posté par
heklare : La fonction racine 05-05-19 à 21:06

Non on suppose connu la dérivabilité des fonctions usuelles

4   f(x) \geqslant 0      quotient de réels positifs

La fonction racine

Posté par
Nofutur4re : La fonction racine 05-05-19 à 21:11

Veuillez m'excuser, nous n'avons pas encore vu les fonctions usuelles et je n'ai pas compris. Pouvez vous detailler un peu plus votre raisonnement

Posté par
heklare : La fonction racine 05-05-19 à 21:23

fonctions usuelles :  polynômes,  inverse, racine carrée

x\mapsto x^2+1 polynôme donc dérivable sur \R

\dfrac{1}{x^2+1} dérivable sur \R  car le dénominateur n'est jamais nul

x\mapsto \sqrt{x} dérivable sur \R^+_*

vous pouvez montrer qu'elle n'est pas dérivable en 0

Posté par
Bokuare : La fonction racine 10-05-19 à 13:08

Bonjour, excusez moi mais comment fait-on le tableau de la question 3 svp ???? Merci

Posté par
heklare : La fonction racine 10-05-19 à 14:01

Bonjour

f'(x)=\dfrac{1-3x^2}{2\sqrt{x}(x^2+1)^2}

Résolvez par exemple 1-3x^2>0

en déduire le signe de 1-3x^2  vous pourrez effectuer le tableau

Posté par
Bokuare : La fonction racine 10-05-19 à 14:26

Ok Merci

Posté par
heklare : La fonction racine 10-05-19 à 14:37

qu'avez-vous trouvé ?

il n'est pas utile d'étudier le signe du dénominateur  :  strictement positif

Posté par
Bokuare : La fonction racine 10-05-19 à 22:46

J'ai trouvé racine de 1/3

Posté par
heklare : La fonction racine 11-05-19 à 11:03

la dérivée s'annule pour \sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} oui

signe ?

Posté par
Bokuare : La fonction racine 11-05-19 à 13:31

Positif sur 0 + l'infini

Posté par
Bokuare : La fonction racine 11-05-19 à 13:32

Et variations croissant sur 0 , environ 0,52 et decroissant sur environ 0,52 , - l'infini

Posté par
heklare : La fonction racine 11-05-19 à 14:53

si f'(x) est positif sur ]0~;~+\infty[ alors f serait croissante sur ]0~;~+\infty[

vous vouliez peut-être dire que f est une fonction positive sur son ensemble de définition
La fonction racine


remarque qu'est-ce - devant l'infini ?  c'est évidemment +


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