Bonjour à toutes et a tous,
J'aimerai obtenir de l'aide sur un exercice que j'arrive pas du tout a traiter, je vous remercie d'avance


II. Étude de la fonction tangente sur l'intervalle ]-𝝅\𝟐;𝝅\𝟐[

1. On envisage d'étudier la fonction tangente sur l'intervalle 𝐼 et de la représenter graphiquement dans le
repère (𝑂, 𝑖⃗,𝑗⃗) .
a. Justifier que la fonction tangente est dérivable sur 𝐼 et montrer que
𝑡𝑎𝑛′(𝑥) =(1\cos^2(𝑥))= 1 + tan2(𝑥)
b. En déduire le tableau de variations de la fonction tangente sur 𝐼.
c. Montrer que pour tout réel 𝑥 de 𝐼, 𝑡𝑎𝑛(−𝑥) = −𝑡𝑎𝑛(𝑥).
Quelle conséquence graphique résulte de cette propriété ?
Vous pourrez vérifier les différents résultats sur le graphique qui représente la fonction tangente sur 𝐼 (page 2).
2. Étude de la tangente 𝑇0 à 𝐶tan au point d'abscisse 0.
a. Donner l'équation de la tangente à 𝐶tan au point d'abscisse 0. La tracer sur le graphique donné sur la
page précédente.
b. On souhaite étudier la position relative de 𝐶tan par rapport à 𝑇0.
On considère la fonction 𝑓 définie sur 𝐼 par 𝑓(𝑥) = tan(𝑥) − 𝑥.
Étudier les variations de 𝑓 sur 𝐼. En déduire le signe de 𝑓(𝑥) sur 𝐼 et la position relative
de 𝐶tan par rapport à 𝑇0.
On vérifiera la cohérence du résultat avec le graphique donné page

partie 2

Les fonctions sinus et cosinus étant définies sur ℝ, on envisage d'étendre la fonction tangente à ℝ.
a. Déterminer les valeurs pour lesquelles la fonction tangente n'est pas définie.
b. On note 𝐷, l'ensemble de tous les nombres pour lesquels la fonction tangente est définie.
Montrer que, pour tout réel 𝑥 de 𝐷, tan(𝑥 + 𝜋) = tan (𝑥). Que peut-on dire de la fonction tangente ?
c. Compléter le graphique ci-dessous en poursuivant le tracé de la courbe représentative de la fonction
tangente sur l'intervalle ]−3𝜋\2;3𝜋\2[.
Tracer également les droites d'équations 𝑥 = −3𝜋\2 et 𝑥 =3𝜋\2.
d. Au voisinage des droites 𝑥 = −3𝜋\2 , 𝑥 = −𝜋\2  , 𝑥 =𝜋\2 et 𝑥 = +3𝜋\2, la courbe se rapproche infiniment  sans jamais les « toucher ».On dira que ces droites sont des asymptotes verticales à la courbe.
Comment traduit-on cela en termes de limites ? Calculer la limite de la fonction tan aux bornes de
l'intervalle ]−𝜋\2;𝜋\2[