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La fourmi malicieuse
Bonjour,
Ne me sentant pas d'inventer de nouvelles énigmes, je vous en propose une que je trouve amusante provenant du forum « énigmes ». Il date de 2004 et avait été particulièrement raté à l'époque.
Allez-vous faire mieux ?
Vous pouvez la consulter ici : 
La fourmi.
Ou ci-dessous.
Dans l'original, les réponses ne sont pas cachées ; mais il faut descendre assez bas pour en trouver une exacte…
Blankez vos réponses SVP.
Sur une boîte parallélipipédique, suspendue par 2 coins comme indiqué (ficelles bleues), une fourmi se trouve, sur la face extérieure ABCD, au point repéré en rouge.
La fourmi veut se rendre au point bleu de la face EFGH.
La boîte est parfaitement hermétique et la fourmi ne peut y pénétrer.
La fourmi ne peut donc se déplacer que sur les parois extérieures de la boîte.
Quelle est la longueur minimum du trajet de la fourmi pour effectuer son déplacement ?
(10² + 42²) = 
Cliquez pour afficherUne petite question subsidiaire :
On remplace le 1 de 1cm par a avec 0
a6 .
Pour quelles valeurs de a la fourmi doit-elle changer de stratégie ?
1,65 et c = -9 + 3Oui, et le lien d'écriture, cdu et dcu , entre les 2 valeurs qui interviennent y est aussi peut-être pour quelque chose 
Bonjour,
il y a à priori 54 patrons possibles d'un prisme droit à base carrée, avec la base qui "topologiquement" n'est pas carrée puisque un de ses côtés est particularisé par la position de la fourmi
en fait il n'y en a que 4 à considérer ici compte tenu des symétries et des positions des points de départ et d'arrivée sur des faces opposées.
ce qui fait qu'il n'y a que 4 trajets à calculer.
avec la base carrée de 12x12 la question subsidiaire de Sylvie ne fait intervenir que trois de ces trajets (réponses précédentes)
si les dimensions de la boite sont différentes cette même question fait intervenir selon la valeur de "d" au lieu de 1cm les quatre trajets différents.
mêmes questions donc que précédemment avec une boite de 12 x 11.8 x 30
la fourmi étant à d cm du milieu du côté de 11.8 cm
Bonjour ,
Examen de toutes (j'espère) les configurations possibles pour une fourmi allant d'un point sur une face à son symétrique par rapport au centre du parallélépipède .
bonjour,
si déja pour simplifier on astreint les points de départ et d'arrivée à être sur le plan de symétrie il existe déja des cas où un 4ème trajet est le meilleur !
ce graphique représente les solutions la meilleure selon les dimensions de la boite 2a, 2b, y dans le cas où t = a/b est compris entre 1 et 1.5
x est la distance de la positon de départ au centre de la face de départ
solution "numérotée" d33, d42, d43, d44 selon une numérotation trop longue à expliquer ici
les courbes de différentes couleurs représentent les différences entre les différents trajets deux à deux
Les 4 trajets différents sont obtenus en faisant juste varier x si 1
(2a précédent remplacé simplement par a et 2b par b et y par c ici)
bon c'est un peu extrème mais tout de même.
dans le cas le plus général il faut donc examiner bien plus de trajets que les trois seuls traités par la démo géogébra !
en regardant de plus près l'appli de fm_31, elle a un défaut sur l'existence même du trajet bleu :
à la position initiale de l'applet ce trajet n'existe pas !
et est de plus incohérent entre le patron et la vie en perspective
et il me semble que l'extrémité de ce trajet sur le patron est même fausse !
le morceau de patron concerné par ce trajet : on voit ici qu'une partie de ce trajet est "en plein vide" au voisinage du coin H
de plus la position correcte de N est obtenue par rotation de 90° de N' de "l'autre patron" autour de H
Le bouton "voir aussi graphique 2" ne me donne rien
Ce n'est pas un bouton mais juste une invitation à regarder la fenêtre Graphique2 qui est affichée .
Le défaut relevé par mathafou a été corrigé .
Merci fm_31 pour ta réponse.
Indiquer "regarder aussi graphique ci-contre" me semble plus adapté. Mais c'est vraiment un petit détail par rapport à la qualité de clarté des figures
il y avait plusieurs problèmes
1) l'extrémité du trajet bleu mauvaise (corrigé)
2) l'existence de ce trajet selon les valeurs des données (selon a,b,c et la position de départ F)
ce deuxième problème pour être corrigé nécessite des constructions "conditionnelles" c'est à dire qui dépendent de la position du sommet "litigieux" par rapport à ce trajet
ce qui est beaucoup plus compliqué que la simple redéfinition d'un point
le trajet bleu n'existe (et donc ne doit être affiché et reporté sur la vue en perspective que uniquement si il coupe le segment d'arête "réel" (EH sur mon dessin) du patron concerné par ce trajet et le segment d'arête réel CD sur mon dessin
et même un 3ème problème : l'existence du 4ème trajet que j'ai signalé, et le fait que ce soit parfois (il est vrai assez rarement) le plus court !
et en plus c'est intéressant car c'est un trajet qui ne vient pas immédiatement à l'esprit : on a l'impression que c'est le plus "compliqué" ("trop" de faces traversées) donc un candidat peu crédible.. et pourtant
je le signalais déja dans mes messages du début de cette discussion (l'année dernière)
et enfin le fait que selon la position de F il faut partir "de l'autre côté" pour avoir le plus court trajet. (se limiter à F dans un quart nord ouest de la face avant par exemple)
comme je disais : le cas général nécessite plus de trajets que les trois seuls traités
ce qui était l'interrogation initiale de fm_31 "(j'espère)"
ceci étant dû au fait que une symétrie par rapport à un plan n'est pas équivalente au "retournement" du pavé autour de son centre !!
les trajets en partant "vers la droite" ne sont donc pas équivalents aux trajets en partant "vers la gauche", seuls traités
et les trajets "vers le bas" pas équivalents à ceux "vers le haut", seuls traités
Merci mathafou pour toutes tes pertinentes remarques . Elles m'ont aidé à corriger et compléter ma construction toujours accessible à
Il me reste à voir la question des symétries .
avec une totale liberté de choix de a, b, c et de la position M de la fourmi, il y a plus de chemins à considérer que ça (que les 4 que je citais ou que les 4 que tu as choisis : le 4ème n'est pas le même pour toi et pour moi)
en toute généralité il y a 20 chemins différents à considérer :
les chemins bleus qui semblent "loufoques" (passent par trois faces latérales !! ) sont réellement les plus courts dans certains cas (chemins "paradoxaux") !!
les chemins verts passent par deux faces latérales, les chemins rouges par une seule (et ce sont les seuls qui existent toujours, les autres existent ou pas selon les données, chemin par chemin)
test non effectué dans l'image précédente (certains sont "irréels")
il est "moins fouillis" (hum, c'est surtout vrai avec plus de 3 chemins !! avec les 20 chemins c'est de toute façon pas mal fouillis déja, ce serait pire sinon) de déplier les différents patrons de cette manière plutôt que à partir de ABCD fixe car cela évite la superposition des faces.
si le point de départ et le point d'arrivée sont symétriques par rapport au centre de la boite, ces 20 chemins sont égaux deux à deux de sorte qu'il n'en reste plus que 10
mais chacun de ces 10 chemins est un candidat à examiner nécessairement, qui est effectivement le plus court pour certaines valeurs de a,b,c et M
cela se réduit à 4 uniquement si la fourmi est sur l'axe de symétrie de la face de départ
(le problème d'origine) et selon quel est le côté le plus près.
nota : mon script Geogeba en cours de réalisation utilise quelques astuces pour le choix des données permettant de à volonté les définir par curseur ou par objets déplaçable, ou en tapant les valeurs dans la barre de saisie bien sûr.
(ta restriction à des valeurs entières fait passer à côté de certains phénomènes : les chemins paradoxaux par exemple)
la case à cocher "opposé" fixe N opposé à M par rapport au centre de la boite (force xN = xM et yN = yM)
sinon on est dans le cas le plus général où le point d'arrivée est quelconque sur la face EFGH
à suivre : tests d'existence, détermination du plus court et affichage 3D, en fonction de mon temps libre ...
alors je la mettrais sur GeogebraTube.
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