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La géométrie de Céva

Posté par
Minet
28-07-18 à 04:04

Salut salut , voici un exercice plutot difficile :

Soit ABC un triangle , A',   B'  et C' des points appartenant respectivement aux droites (BC) , (CA) et (BA) , distincts des sommets A , B et C .

1) On suppose que les droites (AA') , (BB') et (CC') sont concourantes en un point G.
a) Démontrer qu'il existe trois nombres réels a,b et c tels que G soit le barycentre des points pondérés (A,a) , (B,b) , (C,c) .
b) En appliquant le théorème des barycentres partiels aux points A' , B' et C ' , démontrer la relation de Céva :

\frac{A'B}{A'C} * \frac{B'C}{B'A} * \frac{C'A}{C'B} = -1  (en algébrique)

    

  2) Réciproquement , on suppose que les points A' , B' et C ' vérifient la relation précédente et que les droites (AA')  et (BB')  sont sécantes en un point k .
Démontrer que les droites (AA') , (BB') et (CC') sont concourantes .


Posté par
Sylvieg Moderateur
re : La géométrie de Céva 28-07-18 à 09:29

Bonjour,
Un rappel d'une des règles du forum dans Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci :
4. Ne PAS DONNER SON ENONCE BRUT, écrire également les pistes de réflexion, les problèmes rencontrés, RECOPIER SES RECHERCHES

Posté par
Minet
re : La géométrie de Céva 28-07-18 à 22:36


Salut ,

Excusez moi pour mon attitude , je ne recommencerais plus .
En ce qui concerne l'exo ; je n'ai vraiment aucune piste de reflexion , sincèrement

Posté par
coa347
re : La géométrie de Céva 28-07-18 à 22:57

Bonjour,

1)a) G appartient à la droite (AA'), donc G est barycentre de A et A' (avec certains coefficients). Mais A' appartient à la droite (BC), donc A' est barycentre de B et C (avec certains autres coefficients). On peut donc en déduire ...

On peut écrire les relations : pour tout point M, (en vecteurs) xMA+tMA'=MG (avec x+t<>=0) ; yMB+ zMC = MA' (y+z<>0). Il faut arranger les coefficients pour trouver la relation aMA+bMB+cMC=MG.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : La géométrie de Céva 29-07-18 à 07:58

Bonjour,
1)a) est vrai pour n'importe quel point M du plan :
Les points A, B, C ne sont pas alignés ; donc (A, \vec{AB},\vec{AC}) est un repère du plan.
En notant x et y les coordonnées du point M dans ce repère, on a :
\vec{AM} = x\vec{AB} + y\vec{AC}

Il est facile d'en déduire une relation de la forme
\alpha \vec{MA}+\beta \vec{MC}+\gamma \vec{MC} = \vec{0} avec \alpha + \beta + \gamma \neq 0

Posté par
DOMOREA
La géométrie de Céva 29-07-18 à 16:58

bonjour,
Le théorème de Ceva  "traîne" partout mais si tu veux réfléchir sans avoir la solution, travaille la remarque suivante:

Si (BC) est une droite et si A' est un point de (BC) , alors  A'= BAR{(B, A'C),(C,-A'B)} (en algébrique)

Maintenant Si G=bar{(A,a),(B,b),(C,c)} alors on peut considérer la barycentre partiel H=Bar{(B,b),(C,c)} et G=bar{(A,a),(H,h)} avec( h=b+c, cela n'a pas d'importance pour le raisonnement).

Mais dans la situation du problème,  (AG)\cap (BC)=\{A'\} , donc A'=H  , donc les coefficients barycentriques qui définissent H sont proportionnels à ceux qui définissent A'

donc \frac{b}{c}=\frac{-A'C}{A'B} en supposant A' distinct de B et de C mais c'est le cas du problème d'après la définition de G

Remarque analogue  pour les deux autres côtés. je te laisse travailler...



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