Salut salut , voici un exercice plutot difficile :
Soit ABC un triangle , A', B' et C' des points appartenant respectivement aux droites (BC) , (CA) et (BA) , distincts des sommets A , B et C .
1) On suppose que les droites (AA') , (BB') et (CC') sont concourantes en un point G.
a) Démontrer qu'il existe trois nombres réels a,b et c tels que G soit le barycentre des points pondérés (A,a) , (B,b) , (C,c) .
b) En appliquant le théorème des barycentres partiels aux points A' , B' et C ' , démontrer la relation de Céva :
= -1 (en algébrique)
2) Réciproquement , on suppose que les points A' , B' et C ' vérifient la relation précédente et que les droites (AA') et (BB') sont sécantes en un point k .
Démontrer que les droites (AA') , (BB') et (CC') sont concourantes .
Bonjour,
Un rappel d'une des règles du forum dans Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci :
4. Ne PAS DONNER SON ENONCE BRUT, écrire également les pistes de réflexion, les problèmes rencontrés, RECOPIER SES RECHERCHES
Salut ,
Excusez moi pour mon attitude , je ne recommencerais plus .
En ce qui concerne l'exo ; je n'ai vraiment aucune piste de reflexion , sincèrement
Bonjour,
1)a) G appartient à la droite (AA'), donc G est barycentre de A et A' (avec certains coefficients). Mais A' appartient à la droite (BC), donc A' est barycentre de B et C (avec certains autres coefficients). On peut donc en déduire ...
On peut écrire les relations : pour tout point M, (en vecteurs) xMA+tMA'=MG (avec x+t<>=0) ; yMB+ zMC = MA' (y+z<>0). Il faut arranger les coefficients pour trouver la relation aMA+bMB+cMC=MG.
Bonjour,
1)a) est vrai pour n'importe quel point M du plan :
Les points A, B, C ne sont pas alignés ; donc est un repère du plan.
En notant x et y les coordonnées du point M dans ce repère, on a :
Il est facile d'en déduire une relation de la forme
avec
bonjour,
Le théorème de Ceva "traîne" partout mais si tu veux réfléchir sans avoir la solution, travaille la remarque suivante:
Si (BC) est une droite et si A' est un point de (BC) , alors A'= BAR{(B, A'C),(C,-A'B)} (en algébrique)
Maintenant Si G=bar{(A,a),(B,b),(C,c)} alors on peut considérer la barycentre partiel H=Bar{(B,b),(C,c)} et G=bar{(A,a),(H,h)} avec( h=b+c, cela n'a pas d'importance pour le raisonnement).
Mais dans la situation du problème, , donc A'=H , donc les coefficients barycentriques qui définissent H sont proportionnels à ceux qui définissent A'
donc en supposant A' distinct de B et de C mais c'est le cas du problème d'après la définition de G
Remarque analogue pour les deux autres côtés. je te laisse travailler...
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