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La Grue Blanche
Bonjour, j'ai un exercice a faire en DM noté pour le vendredi 20 Septembre 2019
La grue Blanche est un oiseau d'Amérique du Nord. Suite à une chasse intensive et à la détérioration de son habitat, cette espèce est en voie de disparition. En 1938, le nombre de grues blanches sauvages s'élevait à 15 individus. Depuis 1940, les grues blanches font l'objet de plusieurs programmes de protection.
On Suppose que l'évolution de la taille de la population des grues blanches sauvages à partir de 1938 est modélisée par la fonction f définie sur l'intervalle [38; 100] par f(x)=0.08x²-7,2x+173, ou x est le temps écoulé en années à partir de 1900. Ainsi l'année 1938 correspond à x=38.
1) En quelle année le nombre de grues blanches sauvages a-t-il été le plus faible ?
2) En quelle année y-a-t-il eu 61 grue sauvages ?
3) Durant quelle période n'y-a-t-il eu pas plus de 13 grues sauvages ?
Merci d'avance pour votre aide
Cordialement
En passant et avant de traiter la question 1 de ce problème.... avec Kenavo que je salue
On Suppose que l'évolution de la taille de la population des grues blanches sauvages à partir de 1938 est modélisée par la fonction f définie sur l'intervalle [38; 100] par f(x)=0.08x²-7,2x+173, ou x est le temps écoulé en années à partir de 1900. Ainsi l'année 1938 correspond à x=38.
Si l'évolution du nombre des grues entre 1938 et aujourd'hui, peut être modélisée (représentée) par une expression mathématique qui donne f(x) le nombre de grues en fonction du "temps"...
alors x étant le nombre d'années écoulées depuis l'an 1900 (alors si l'étude commence en 1938, on a x= 38 et en 2000, on a x = ??? à toi de dire),
le nombre de grues en 1900+x est donné par la formule donnée par l'énoncé (c'est le modèle retenu par les personnes ayant mené l'étude) à savoir :
f(x)=0,08x²-7,2x+173
Questions élémentaires (préliminaires à celles du problème) :
D'après ce modèle mathématique,
a) quel était le nombre de grues en 1938 ?
b) quel était le nombre de grues en 1960 ?
c) quel était le nombre de grues en 2000
Comment fais tu pour répondre à ces questions ?
Mais non Kenavo. Elle est partie faire sa migration scolaire et comme les hirondelles qui reviennent au printemps, elle va revenir avec... le bus scolaire 
@ peanuts1
On t'attend avec impatience !
Bonjour,
Pour la question 1, j'ai trouvé que le minimum de la fonction est 11 mais je ne sais pas comment détailler le calcul
Bonjour,
Pour la question 1, j'ai trouvé que le minimum de la fonction est 11 ateint pour x=45 donc En 1945, le nombre de grues blanche à été le plus faible (11 grues)
pouvez vous m'aider à détailler le calcul s'il vous plait ?
Je dois rendre cet exercice demain matin à 8h00 et il vas être noté
Pouvez vous me répondre, cet exercice est noté et il faut que je le rende demain ainsi qu'un autre exercice
J'arrive !! Je sors de mon cours de... musique (élève !!)
Ton résultat est exact.
Si tu nous disais comment tu es parvenu à ce minimum ?
Graphiquement ?
ou avec la calculatrice et une table de valeurs ?
ou si tu as vu la notion de dérivée en 1ère (??) en calculant la dérivée de f(x) ?
ou avec les notions de seconde : le sommet -minimum ou maximum- a pour expression
x= -b/(2a) et y = f(-b/(2a))
suite
question 2)
Tu cherches x pour que f(x) = 61
donc il te faut résoudre l'équation du second degré
f(x) = 61
0,08x²-7,2x+173 = 61
0,08x²-7,2x+112 = 0
Résolution d'une équation du second degré (ax²+bx+c= 0) tu dois être en train de faire cela en classe....
3) Durant quelle période n'y-a-t-il eu pas plus de 13 grues sauvages ?
Tu cherches les valeurs de x telles que f(x)
13
donc tu dois résoudre l'inéquation du second degré
0,08x²-7,2x+173
13
Tu peux vérifier tes réponses graphiquement :
ZEDMAT
pour la question 1) J'ai trouvé le minimum de f(x) avec ma calculatrice mais je ne sais pas comment rédiger la réponse
Tu as du voir en Seconde que la fonction f définie par f(x) = 0.08x²-7,2x+173 est un polynôme du second degré (forme ax²+bx +c). Sa représentation graphique est donc une.... parabole. Cette parabole est en
puisque le signe de a, coefficient du terme en x², est positif.
On apprend en seconde que le sommet (ici un minimum) a pour coordonnées xS = -b/2a et yS = f(-b/2a)
Ici a = 0,08, b= ??? et c= ??
donc xS = ??? et yS = ???
J'avais écrit dans un précédent message :
question 2)
Tu cherches x pour que f(x) = 61
donc il te faut résoudre l'équation du second degré
f(x) = 61
0,08x²-7,2x+173 = 61
0,08x²-7,2x+112 = 0
Résolution d'une équation du second degré (ax²+bx+c= 0) tu dois être en train de faire cela en classe....
Citation :
3) Durant quelle période n'y-a-t-il eu pas plus de 13 grues sauvages ?
Tu cherches les valeurs de x telles que f(x) 13
donc tu dois résoudre l'inéquation du second degré
0,08x²-7,2x+173 13
Sais tu résoudre une équation du second degré ? oui alors - voir ci dessus- tu sais répondre à la question 2...
Sinon ou bien il faut aller voir ton cours
ou bien il faut te débrouiller avec la représentation graphique ou ton tableau de valeurs sur ta calculatrice 
1-Cours sur les fonctions polynômes : généralités
Voir le II mais tu as les mêmes (formules) à la maison dans ton cours 
Je n'ai plus le temps de chercher dans mon cours
l'exercice je dois le rendre demain et c'est noté
Peux tu m'aider à avoir une bonne note s'il te plait ? ZEDMAT
Peux tu m'aider à avoir une bonne note s'il te plait ? ZEDMAT
T'aider à comprendre et à faire , oui volontiers !
T'aider à avoir une bonne note, cela serait malhonnête (et injuste vis a vis de tes copains) si c'est moi qui fait le boulot !!
Tu as à résoudre l'équation :
0,08x²-7,2x+112 = 0 (équation du second degré avec a = ?? b=?? et c= ??)
On calcule le discriminant de cette équation
= b² -4ac (c'est du cours à connaitre)
Si ce discriminant est positif, l'équation admet 2 solutions données par les formules du cours.... tu appliques ces formules et tu auras les 2 solutions donc les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 61.
Je n'ai plus le temps de chercher dans mon cours
l'exercice je dois le rendre demain et c'est noté
Peux tu m'aider à avoir une bonne note s'il te plait ? ZEDMAT
eh beh....
la FAQ du forumBonsoir,
Voici mes calculs pour la question 1)
f(x)=0.08x²-7.2+173
f(x)=0.08x²-7.2+173
a=0.08 b=-7.2 c=173
x=-b/2a= 7.2/2*0.08=45
y=f(-b/2a)=0.08*45²-7.2*45+173=11
Donc, En 1945, le nombre de Grues Blanches à été le plus faible (11 Grues)
Et pour la question 2)
f (x) = 61
0.08 x² - 7.2 x + 173 = 61
0.08 x² - 7.2 x + 173 - 61 = 0
0.08 x² - 7.2 x + 112 = 0
Δ = ( - 7.2)² - 4 ( 0.08 x 112 ) = 51.84 - 35.84 = 16
x 1 = ( 7.2 - 4 ) / 0.16 = 3.2/0.16 = 20
x 2 = ( 7.2 + 4 ) / 0.16 = 11.2/0.16 = 70
ZEDMAT
kenavo27
Pouvez vous me dire si mes calculs sont justes et m'aider à comprendre la question 3)
Merci d'avance 
Cordialement 
Ici c'est un forum , pas une messagerie instantanée et les participants ne sont pas forcément 24/24 devant leur PC ....
question 1 : OK
question 2 : OK mais il faut conclure
on demande en quelle année, pas juste de mettre x1 = et x2 = !
(attention piège : "...par la fonction f définie sur l'intervalle [38; 100]"
question 3 même principe mais on fera une inéquation (un signe < au lieu de =)
ce qui revient à étudier le signe d'un trinome du second degré, quand on aura ramené ça à ... < 0
(donc encore le cours)
peanuts1
Tes 2 messages d'hier soir montrent que quand tu t'en donnes les moyens, tu peux faire des choses satisfaisantes
Je n'étais pas devant mon ordinateur hier soir (!!) mais Mathafou a validé tes réponses (merci à lui).
As tu VU graphiquement comment tes réponses apparaissaient ?
Pour la troisième question, "la" solution apparaît aussi sur le graphique... mais il te faut retrouver cette réponse par le calcul.
J'ai écrit :
Durant quelle période n'y-a-t-il eu pas plus de 13 grues sauvages ?
Tu cherches les valeurs de x telles que f(x) 13
donc tu dois résoudre l'inéquation du second degré
0,08x²-7,2x+173 13
Et Mathafou a ajouté :
question 3 même principe mais on fera une inéquation (un signe < au lieu de =)
ce qui revient à étudier le signe d'un trinome du second degré, quand on aura ramené ça à ... < 0
(donc encore le cours)
Même si ton "fameux" devoir noté (!) est déjà rendu, si tu as néanmoins envie de trouver la réponse, on peut continuer à t'aider.
Pose l'INéquation à résoudre (voir les indications de Mathafou) et regarde dans ton cours comment on trouve le signe d'un trinôme du second degré (soit on essaye de le factoriser soit on applique le théorème du cours qui donne le signe du trinôme suivant les valeurs de x)
C'est bien sûr... si tu veux
Voici mes calculs pour la question 3), pouvez vous me dire si c'est justes :
0,08x2−7,2x+173≤13
Déplacer 13vers le côté gauche de l'équation en le soustrayant des deux côtés.
0,08x2−7,2x+173−13≤0
Soustraire 13de 173
.
0,08x2−7,2x+160≤0
Transformer l'inéquation en une équation.
0,08x2−7,2x+160=0
Factoriser le côté gauche de l'équation.
Factoriser 0,08pour le sortir de 0,08x2−7,2x+160
0,08(x2)+0,08(−90x)+160=0
0,08x2+0,08(−90x)+0,08⋅2000=0
Factoriser 0,08pour le sortir de 0,08x2+0,08(−90x)
.
0,08(x2−90x)+0,08⋅2000=0
0,08(x2−90x+2000)=0
0,08((x−50)(x−40))=0
Enlever les parenthèses non nécessaires.
0,08(x−50)(x−40)=0
Diviser les deux côtés de l'équation par 0,08
La division de 0 par tout nombre non nul donne 0
(x−50)(x−40)=0
on Pose x−50 égal à 0 et résoudre pour x
Rendre le facteur égal à 0
x−50=0
Ajouter 50 aux deux côtés de l'équation.
x=50
on Pose x−40 égal à 0 et résoudre pour x
x−40=0
Ajouter 40 aux deux côtés de l'équation.
x=40
Regrouper les solutions.
x=50;40
Utiliser chaque racine pour créer des intervalles de test.
x≤40
40≤x≤50
x≥50
Choisir une valeur de test de chaque intervalle et remplacer cette valeur dans l'inégalité initiale pour déterminer quels intervalles vérifient l'inégalité.
x≤40
Faux
40≤x≤50
Vrai
x≥50
Faux
La solution se compose de tous les intervalles vrais.
40≤x≤50
Le résultat peut être affiché sous de multiples formes.
Forme de l'Inéquation:
40≤x≤50
Notation sous forme d'intervalle :
[40;50]
Oui, pourquoi pas mais je trouve le formalisme de ce calcul un peu... lourd.
D'ailleurs pour ce qui est de "tester" les intervalles (je n'aime pas cette méthode mais à chacun ses goûts !!), tu n'as pas vraiment développé.... en prenant des valeurs à ta convenance.
Deux suggestions (si tu as déjà vu ces résultats en cours) :
1) si ton polynôme du second degré (obtenu dans le premier membre) est factorisable, on voit en cours que ax²+bx+c = a (x-x1) (x-x2)
donc on calcule le discriminant et s'il est positif ou nul, on calcule les racines x1 et x2 du polynôme.
En appliquant le résultat ci dessus on a la forme factorisée du premier membre (ne pas oublier le premier facteur "a" de cette forme).
2) pour étudier le signe du polynôme factorisé, on peut :
21) faire un tableau de signes
valeurs de x -oo x1 x2 +oo
signe de a
signe de x-x1
signe de x-x2
signe du produit
22) plus rapide, appliquer le théorème qui donne le signe d'un trinôme suivant les valeurs de x...... si on l'a vu en cours !! Son application nécessite (mais ta méthode aussi !) de calculer le discriminant, et les racines éventuelles ; on regarde alors le SIGNE du coefficient a de x². Et la conclusion est immédiate.
ZEDMAT
1) si ton polynôme du second degré (obtenu dans le premier membre) est factorisable, on voit en cours que ax²+bx+c = a (x-x1) (x-x2)
donc on calcule le discriminant et s'il est positif ou nul, on calcule les racines x1 et x2 du polynôme.
En appliquant le résultat ci dessus on a la forme factorisée du premier membre (ne pas oublier le premier facteur "a" de cette forme).
2) pour étudier le signe du polynôme factorisé, on peut :
21) faire un tableau de signes
valeurs de x -oo x1 x2 +oo
signe de a
signe de x-x1
signe de x-x2
signe du produit
Bonsoir ZEDMAT
Tu m'as dit que :
ZEDMAT
1) [u]si ton polynôme du second degré (obtenu dans le premier membre) est factorisable, [/u]on voit en cours que ax²+bx+c = a (x-x1) (x-x2)
donc on calcule le discriminant et s'il est positif ou nul, on calcule les racines x1 et x2 du polynôme.
En appliquant le résultat ci dessus on a la forme factorisée du premier membre (ne pas oublier le premier facteur "a" de cette forme).
2) pour étudier le signe du polynôme factorisé, on peut :
21) faire un tableau de signes
valeurs de x -oo x1 x2 +oo
signe de a
signe de x-x1
signe de x-x2
signe du produit
.
Tu m'as dit un calcul mais mon expression n'est as factorisoble et le discriminant est inférieur à 0, je fais comment alors ???
ZEDMATmathafou
JE vous invite à m'aider pour mon deuxiéme exercicie pour celui là je bloque à la question N°4
Ici : Problème de Synthèse
** balises ajoutées pour rendre le lien cliquable **
*** toute réponse à cet autre exo doit être dans cette autre discussion et en aucun cas ici ***
Tu m'as dit un calcul mais mon expression n'est pas factorisable et le discriminant est inférieur à 0, je fais comment alors ???
Tu refais tes calculs
car avec TA méthode tu avais montré le contraire en factorisant le premier membre !!
0,08x²−7,2x+160 ≤0 le second membre de l'inéquation doit être ZERO.
Donc on s'intéresse au trinôme
P(x) = 0,08x²−7,2x+160
Discriminant : (-7,2)² -4*(0,08*160) = ?? (cherche un peu) qui est positif
donc le trinome p(x) a 2 racines x1= ?? et x2 = ??
(tu dois retrouver les mêmes valeurs que celles que tu avais déterminées)
donc
0,08x²−7,2x+160 = 0,08 (x-??)(x-??)
puis tableau de signes pour obtenir le signe de P(x) suivant les valeurs de x.
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