Niveau autre

La même suite mais autrement...

Posté par
alainpaul 29-01-14 à 09:08

Bonjour,

Considérons une suite que nous pouvons définir de deux manières
différentes :
$U_n=f(n) , U_{n+1}=h(U_n)$

Nous faisons l'hypothèse que f est bijective,
quel est le lien entre entre les fonctions f et h ?

Un exemple,la série:
$u_n=\sqrt{1+n^2}$
l'écrire sous la forme $u_{n+1}=h(u_n)$
calculer h,

Merci pour vos idées et suggestions,

Alain

Posté par re : La même suite mais autrement... 29-01-14 à 10:12

Pour l'exemple :

U(n) = V(1+n²)

U(n+1) = V(1 + (n+1)²) = V(n²+2n+2)

n²+1 = U(n)²
n² = U(n)² - 1 (les 2 membres sont positifs pour tout n)
n = V(U(n)² - 1)

n²+2n+2 = U(n)² - 1 + 2.V(U(n)² - 1) + 2
n²+2n+2 = U(n)² + 1 + 2.V(U(n)² - 1)

U(n+1) = V[U(n)² + 1 + 2.V(U(n)² - 1)]

h(U(n)) = V[U(n)² + 1 + 2.V(U(n)² - 1)]
-----
Sauf distraction.

Posté par re : La même suite mais autrement... 29-01-14 à 11:36

Bon,

Il y a une petite erreur
$h(u_n)=f(n+1)=\sqrt{n^2+2n+2}$

Ce n'est pas ce qui importe ici; mon idée était de se
doter d'une méthode adaptée est réutilisable.

Il est possible de définir h en fonction de f :
$h(v)=f(1+f^{-1}(v)$ ,

Alain