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La méthode de Monte-Carlo.

Posté par
MaxMatic
24-04-13 à 18:48

Bonjour,

je me permet de faire appel à vous car dans le DM que nous a donné notre professeur de maths pour les vacances, il y a un exercice servant apparemment à introduire la méthode de Monte-Carlo. Mais, voilà, j'ai beaucoup de mal à comprendre le raisonnement que je dois adopter pour répondre.

Voici l'énoncé:

Citation :
Soit f la fonction positive définie sur [0;1] par f(x) = 4x - 4x². On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O;I;J).
On veut calculer = 01 f(x)dx en utilisant la définition de l'intégrale comme aire du domaine D, limité par la courbe (C) et l'axe des abscisses, sans utiliser une primitive de f.

Etude de ce problème
1) Etudier les variations de f et construire la courbe (C) dans un repère orthonormé. Hachurer le domaine d. On note S le carré de côtés [OI] et [OJ].
Soit M(x;y) un point situé à l'intérieur du carré S.
A quelle condition portant sur x et y le poitn M appartient au domaine D?

2) Soit l'expérience aléatoire consistant à placer au hasard un point à l'intérieur du carré S.
On admet que la probabilité pour que ce point appartienne au domaine D est proportionnelle à l'aire de D. On répète N fois cette expérience aléatoire de façon indépendante.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de points qui sont situés dans le domaine D.
Quelle est la loi de probabilité suivie par X?
Déterminer la valeur de E(X).


Alors, j'ai bien sûr réussi à faire en partie la question 1.
1) f'(x) = 4 - 8x.
Sens de variation:
Croissante sur [0 ; (1/2)] et décroissante sur [(1/2) ; 1]
(Maximum: 1 pour x=(1/2), minimum: 0)

J'ai tracé la courbe comme indiqué et hachuré le domaine d.
C'est après que je bloque, concernant le carré S. Je ne comprends pas ce que représentent les segments [OI] et [OJ]...

Pour les conditions portant sur x et y, j'ai mis:
x [0;1]
y [0;1] et y f(x)

Mais après je ne comprends pas trop comment je dois procéder, surtout pour la question 2...
Merci pour votre aide!

Posté par
Barney
re : La méthode de Monte-Carlo. 24-04-13 à 19:09

Bonjour

OI=1  O(0;0) étant l'origine, I(1;0) sur l'axe des x,
OJ=1  J(0;1) sur l'axe des y
les vecteurs OI et OJ constituant avec O le repère orthonormé

Posté par
MaxMatic
re : La méthode de Monte-Carlo. 24-04-13 à 19:12

Merci pour ta réponse Barney, c'est en effet bien ce qu'il me semblait...
Mais je reste néanmoins bloqué. Est-ce que les conditions que j'ai indiqué pour x et y sont correctes?
Et pour la question 2, sans utiliser une primitive de f je ne trouve pas comment faire...

Posté par
MaxMatic
re : La méthode de Monte-Carlo. 25-04-13 à 17:50

Personne n'a d'idée? Je bloque vraiment à la question 2, et je ne comprends pas comment on peut obtenir une "valeur" de E(X) sans avoir une valeur pour N...
Merci!



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